Re: Combinatoria

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, 20 Jul 2000, Alexandre Tessarollo wrote:

> 	Essa é uma questão de permutação circular. Fiz de duas maneiras.
> 
> Primeira maneira:
> 
> 	Vamos primeiro permutar todas as bolas como se estivessem uma ao lado
> da outra numa prateleira. Para quem já estudou permutação c/repetição, é
> fácil ver que existem N=54!/(6!8!16!24!) arrumações possíveis. Agora
> "fechemos" o círculo, isto é, juntemos uma ponta da prateleira à
> outra(como se a prateleira fosse maleável). Ao fazermos isto, vemos q a
> arrumação q põe todas as bolas juntas de acordo com a cor, isto é,
> BBBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...Am é equivalente à
> BBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...AmB que é equivalente a várias outras.
> Precisamente 54 arrumações equivalentes. Basta ver que o "ponto de
> corte" da arrumação acima poderia ter sido em qualquer um dos 53 espaços
> entre as bolas bem como aonde admitimos ter sido, no fim da nossa
> prateleira.)
> 	Logo, o verdadeiro número de arrumações é N/54.
> 
> Segunda maneira:
> 
> 	Escolha uma bola qualquer, digamos branca. Coloque-a em qualquer
> posição, pois todas são equivalentes inicialemente. Agora, para colocar
> a segunda bola branca, temos o lugar simétrico ao da primeira e mais
> 52/2=26 lugares (na verdade seriam 52 lugares, só que são simétricos
> dois a dois. Logo...). Ou seja, já temos 27 possibilidades. Já podemos
> perceber também que dessa maneira teremos vários casos e não chegaremos
> ao resultado tão cedo.
> 	Assim, na hora de colocar as bolas seguintes, nós "abrimos" o círculo.
> Isto é, assumimos que a 1a bola colocada representa a 1a posição.
> Resolvendo essa permutação normal, temos M=53!/(5!8!16!24!). Vale
> lembrar que a nossa primeira bola branca NÃO é diferente das outras, ou
> seja, existem 6 bolas brancas q podem ser esta primeira. Portanto, o
> verdadeiro número de arrumações é M/6.
> 
> 	E, como podemos ver, M/6=N/54. Ou seja, ambos os raciocínios chegam a
> mesma resposta e ambos estão, a meu ver, corretos.
> 
> Aguardo apreciação de todos.
> Um abraço,
> Alexandre Tessarollo
> 
> Ecass Dodebel wrote:
> > 
> > "De quantas maneiras distintas podemos dispor ao longo de um
> > circulo, suposto fixo, 6 bolas brancas, 8 bolas azuis, 16
> > bolas verdes, 24 bolas amarelas?"
> > 
> > O círculo fica fixo em nossa frente, mas as bolas ficam livres para serem
> > rotacionadas como em uma catraca de bicicleta (acho que vocês entendem).
> > 
> > Obrigado!
> > 
> > Eduardo Casagrande Stabel.
> > ________________________________________________________________________
> > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
> 

Infelizmente a resposta e ambos os raciocínios apresentados estão incorretos,
apesar de serem boas aproximações. A falha consiste no seguinte:
existem algumas arrumações contadas na solução 1 que vêm em classes
não de 54 e sim de 27 arrumaçòes equivalentes. Um exemplo disso é

BBBAAAAVVVVVVVVYYYYYYYYYYYYBBBAAAAVVVVVVVVYYYYYYYYYYYY

(onde usei B para branco, A para azul, V para verde e Y para amarelo)
pois girando 27 espaços temos a mesma arrumação.
Antes de rodarmos a roda, temos exatamente

27!/(3!4!8!12!)

arrumações deste tipo e portanto a resposta correta é

(54!/(6!8!16!24!) - 27!/(3!4!8!12!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/27 =
= (54!/(6!8!16!24!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/54 =
= 68060828021687548916368500 + 72505182750 =
= 68060828021687621421551250

[]s, N.