Re: Olha pessoal.....

["Marcos Eike Tinen dos Santos" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

valeu!!!

Saldanha..

Ats,
Marcos EIke

----- Original Message -----
From: Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Terça-feira, 18 de Julho de 2000 16:22
Subject: Re: Olha pessoal.....


>
>
> On Mon, 17 Jul 2000, Marcos Eike Tinen dos Santos wrote:
>
> > Let n be a natural number such that the number 2n^2 has 28 distinct
divisors
> > and the number 3n^2 has 30 distinct divisors. How many distinct divisors
has
> > the number 6n^2 ?
> >
> > se 2n^2 tem 28 divisores, temos que n^2 possua 14 divisores, porém,
temos um
> > absurdo, pois, suponhamos n tal que n seja igual a um produto de primos,
> > então n^2 fará com que o número de divisores seja ímpar, pois trata-se
de um
> > quadrado perfeito. Então, temos que 15 é o número de dividores correto.
> >
> > Assim: 6n^2 possue 60 dividores.
>
> Sua solução não está correta. Não é verdade que se m tem k divisores
> então 2m tenha 2k divisores.
>
> > Alguém pode comentar? Achei bastante fácil, caso seja assim, o que mais
me
> > intrigou foi 28 divisores para 2n^2 e para 3n^2, 30, isso seria
possível?
>
> Seja
> n = 2^a * 3^b * 5^c * 7^d * ...
> O número de divisores (naturais) de n é
> (a+1)(b+1)(c+1)...
>
> Temos
> 2n^2 = 2^(2a+1) * 3^(2b) * 5^(2c) * ...
> 3n^2 = 2^(2a) * 3^(2b+1) * 5^(2c) * ...
>
> Donde
> (2a+2)(2b+1)(2c+1)... = 28
> (2a+1)(2b+2)(2c+1)... = 30
>
> e
>
> (a+1)(2b+1)(2c+1)... = 14
> (2a+1)(b+1)(2c+1)... = 15
>
> Como o mdc entre 14 e 15 é 1 temos
>
> (2c+1)(2d+1)... = 1 e n = 2^a * 3^b
>
> (a+1)(2b+1) = 2ab +  a + 2b + 1 = 14
> (2a+1)(b+1) = 2ab + 2a +  b + 1 = 15
>
> Subtraindo uma equação da outra temos
> a - b = 1 ou b = a - 1
> Donde
> (2a+1)a = 15
> ou
> 2a^2 + a - 15 = 0
> cujas raízes são -3 e 5/2, nenhuma das quais faz sentido para o problema.
>
> Moral: não existe nenhum natural n com as propriedades descritas.
>
>