Re: Olha pessoal.....

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, 17 Jul 2000, Marcos Eike Tinen dos Santos wrote:

> Let n be a natural number such that the number 2n^2 has 28 distinct divisors
> and the number 3n^2 has 30 distinct divisors. How many distinct divisors has
> the number 6n^2 ?
> 
> se 2n^2 tem 28 divisores, temos que n^2 possua 14 divisores, porém, temos um
> absurdo, pois, suponhamos n tal que n seja igual a um produto de primos,
> então n^2 fará com que o número de divisores seja ímpar, pois trata-se de um
> quadrado perfeito. Então, temos que 15 é o número de dividores correto.
> 
> Assim: 6n^2 possue 60 dividores.

Sua solução não está correta. Não é verdade que se m tem k divisores
então 2m tenha 2k divisores.

> Alguém pode comentar? Achei bastante fácil, caso seja assim, o que mais me
> intrigou foi 28 divisores para 2n^2 e para 3n^2, 30, isso seria possível?

Seja
n = 2^a * 3^b * 5^c * 7^d * ...
O número de divisores (naturais) de n é
(a+1)(b+1)(c+1)...

Temos
2n^2 = 2^(2a+1) * 3^(2b) * 5^(2c) * ...
3n^2 = 2^(2a) * 3^(2b+1) * 5^(2c) * ...

Donde
(2a+2)(2b+1)(2c+1)... = 28
(2a+1)(2b+2)(2c+1)... = 30

e

(a+1)(2b+1)(2c+1)... = 14
(2a+1)(b+1)(2c+1)... = 15

Como o mdc entre 14 e 15 é 1 temos

(2c+1)(2d+1)... = 1 e n = 2^a * 3^b

(a+1)(2b+1) = 2ab +  a + 2b + 1 = 14
(2a+1)(b+1) = 2ab + 2a +  b + 1 = 15

Subtraindo uma equação da outra temos
a - b = 1 ou b = a - 1
Donde
(2a+1)a = 15
ou
2a^2 + a - 15 = 0
cujas raízes são -3 e 5/2, nenhuma das quais faz sentido para o problema.

Moral: não existe nenhum natural n com as propriedades descritas.