Re: Auxilio

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, 13 Jul 2000, Alexandre Gomes wrote:

>    Este problema foi proposto na OBM-92.
>    Prove que existe um numero natural n tal que a expansao decimal de n^1992 
> comec;a com 1992 algarismos iguais a 1.
>    Sera' que algum colega poderia me ajudar a resolver este problema?

Queremos que a parte fracionária de log_10(n^1992) caia em um certo intervalo.
Mas o conjunto das partes fracionárias deste tipo é *denso* no intervalo [0,1],
isto é, tem elementos em qualquer intervalo não trivial.
Isto pode ser visto considerando todas as partes fracionárias de n^1992,
10^k <= n < 10^(k+1). Elas estão espalhadas em [0,1] e o maior intervalo
é o primeiro, entre 10^k e 10^k + 1, ou melhor, entre as partes fracionárias
de (10^k)^1992 (=0) e de (10^k + 1)^1992. É fácil estimar que este tamanho
deste intervalo tende a zero. []s, N.