RES: Auxilio

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Oi Alexandre.. Acho que da pra fazer assim : (corrijam me caso contrario por
favor)

Olhe um caso simple antes. Por exemplo, vamos tentar achar n tal que n^2
começe por dois 1's.
Isso equivale a tentar achar n de modo que valha uma das opções abaixo:
110   =< n^2 =< 119; ou 1100  =< n^2 =< 1199; ou 11000 =< n^2 =< 11999; ou
em geral, 11*10^k =< n^2 < 12*10^k

Tirando raizes (tudo é positivo), quero achar (n,k) tal que
(11^0.5)*10^(k/2) =< n < (12^0.5)*10^(k/2).
Mas 11^0.5 vale mais que 3.31 e 12^0.5 vale menos que 3,46.. Colocando k/2 =
100 por exemplo, encontramos alguns valores de n satisfatorios
(n=332,333,...,346 por exemplo).

Vamos agora ao caso geral. Note primeiro que um numero t que começe com 1992
números é da forma t=1...11abc.. , ou seja,
(1...11)*10^k =< t < (1...12)*10^k para algum k natural maior ou igual a 1
(substitua os tres pontinhos entre os 1's por 1989 algarismos 1's).
Mas 1...11 = 10^0 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^1991 = [(10^1992 - 1)/9 ]
e portanto 1...12 = (1...11) + 1 = [(10^1992 + 8)/9]

O problema entao passa a ser encontrar um par (n,k) de N*N tal que
[(10^1992 - 1)/9]*10^k =< n^1992 < [(10^1992 + 8)/9]*10^k
	Como tudo é positivo, a desigualdade continua tendo o mesmo conjunto
solução se elevarmos tudo a 1/1992:
Para simplificar a escrita, vou colocar a = [(10^1992 - 1)/9]^(1/1992); b =
[(10^1992 + 8)/9]^(1/1992); k'=k/1992.
E agora procuro um par (n,k') tal que a*(10^k') =< n < b*(10^k')
	Ora, vemos que 0<a<b*. Portanto, existe k' tal que b-a > 1/(10^k').(basta
tomar k' inteiro maior que -log(b-a)).
Mas para esse k', temos b > a + 1/(10^k') donde b*10^k' > a*10^k' + 1.
Mas note que dado um real x>0, sempre existe um inteiro n tal que x =< n <
x+1 (basta tomar n=[x]+1 se x nao for inteiro). Portanto, para o k'
encontrado, é possível encontrar um inteiro n tal que a*10^k'< n < a*10^k' +
1 < b*10^k'.
Elevando essa desigualdade a 1992 vemos que esse par (n,k) satisfaz
[(10^1992 - 1)/9]*10^k =< n^1992 < [(10^1992 + 8)/9]*10^k
e portanto esse n é uma potência de 1992 que começa com 1992 1's.

(OBS: Esse resultado pode ser melhorado. De fato, existem infinitos k's que
satisfazem b > a + 1/(10^k') e para cada um desses valores de k' dá para
achar pelo menos um valor de n que satisfaz a*10^k'< n < a*10^k' + 1 <
b*10^k'. É claro que esses n's sao todos distintos, e portanto existem
infinitos n's tal que n^1992 começa com 1992 algarismos 1's.
O mesmo raciocinio pode ser usado para mostrar que dado p natural, existem
infinitos naturais n tal que n^p começa com p algarismos iguais a 1!)

* pois f(x) = x^(1/1992) é crescente.
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Alexandre Gomes
Enviada em: Sexta-feira, 14 de Julho de 2000 01:41
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Auxilio


   Este problema foi proposto na OBM-92.
   Prove que existe um numero natural n tal que a expansao decimal de n^1992
comec;a com 1992 algarismos iguais a 1.
   Sera' que algum colega poderia me ajudar a resolver este problema?
   []'s Alexandre S. Gomes.
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