Teorema de Napoleao : Generalizacao (por R. Villard)

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

O nosso colega Rodrigo Villard esta com problemas para mandar emails e me
pediu pra enviar pra lista essa solucao que ele fez pro Teorema de Napoleao
Generalizado. Ele consegue ler tudo da lista, mas nao consegue mandar emails
(pra ninguem).
Nao lembro quem foi que pediu esse problema na lista. Se tiver alguma
duvida, mande mensagem para villard@vetor.com.br


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obs: O1 quer dizer  O (a letra) indice 1.

Generaliza��o do Teorema de Napole�o : �Dado um tri�ngulo qualquer ABC,
constroem-se os tri�ngulos ABP, ACQ e BCR, todos semelhantes e exteriores a
ABC. O tri�ngulo formado pelos circunscentros dos tri�ngulos exteriores �
semelhante a ABC !�

Lema : Os c�rculos circunscritos a ABP, ACQ e BCR passam por um mesmo ponto.
Prova do lema : Tra�ando os c�rculos circunscritos a ABP e ACQ, vemos que
s�o secantes em A e em outro ponto N. Basta, ent�o, provar que #BCRN �
inscrit�vel, pois B, C e R determinam um c�rculo. Seja ANxBC=M ,
ang(MNC)=ang(AQC) {pois #AQCN � inscrito}... analogamente,
ang(BNM)=ang(APB). Pela contru��o da figura, de um modo sim�trico, para n�o
tirar a generalidade do problema, ang(APB)=ang(ABC) e ang(AQC)=ang(BAC)....
assim, ang(BNC) = ang(BNM) + ang(CNM) = ang(APB) + ang(AQC) => ang(BNC) =
ang(ABC) + ang(BAC) =180 � ang(BCA) => ang(BNC) = 180o � ang(BRS) => #BNCR �
inscrito..... (CQD)
......................................................
Lema : A corda comum a dois c�rculos � perpendicular a reta que une os
centros.
Prova do lema : Basta ver que os centros das circunfer�ncias equidistam dos
pontos de concorr�ncia das circunfer�ncias.... ent�o eles determinam a
mediatriz da corda comum. (CQD)
......................................................
Sejam, ent�o, O1, O2 e O3 os centros dos c�rculos em ABP, ACQ e BCR,
respectivamente. E sejam tamb�m, T = O1O2xAN , U = O2O3xCN e V = O1O3x BN .
Assim, #O1TNV � inscrit�vel => ang(BNM) = ang(O2O1O3) = ang(ABC)...
Analogamente, analisando #O2TNU e #O3UNV, vemos que ang(O1O2O3)=ang(BAC) e
ang(O1O3O2)=ang(ACB) => O1O2O3 � semelhante a ABC. (CQD)
      �Villard !
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