Teorema de Napoleao : Generalizacao (por R. Villard)

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

O nosso colega Rodrigo Villard esta com problemas para mandar emails e me
pediu pra enviar pra lista essa solucao que ele fez pro Teorema de Napoleao
Generalizado. Ele consegue ler tudo da lista, mas nao consegue mandar emails
(pra ninguem).
Nao lembro quem foi que pediu esse problema na lista. Se tiver alguma
duvida, mande mensagem para villard@vetor.com.br


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obs: O1 quer dizer  O (a letra) indice 1.

Generalização do Teorema de Napoleão : “Dado um triângulo qualquer ABC,
constroem-se os triângulos ABP, ACQ e BCR, todos semelhantes e exteriores a
ABC. O triângulo formado pelos circunscentros dos triângulos exteriores é
semelhante a ABC !”

Lema : Os círculos circunscritos a ABP, ACQ e BCR passam por um mesmo ponto.
Prova do lema : Traçando os círculos circunscritos a ABP e ACQ, vemos que
são secantes em A e em outro ponto N. Basta, então, provar que #BCRN é
inscritível, pois B, C e R determinam um círculo. Seja ANxBC=M ,
ang(MNC)=ang(AQC) {pois #AQCN é inscrito}... analogamente,
ang(BNM)=ang(APB). Pela contrução da figura, de um modo simétrico, para não
tirar a generalidade do problema, ang(APB)=ang(ABC) e ang(AQC)=ang(BAC)....
assim, ang(BNC) = ang(BNM) + ang(CNM) = ang(APB) + ang(AQC) => ang(BNC) =
ang(ABC) + ang(BAC) =180 – ang(BCA) => ang(BNC) = 180o – ang(BRS) => #BNCR é
inscrito..... (CQD)
......................................................
Lema : A corda comum a dois círculos é perpendicular a reta que une os
centros.
Prova do lema : Basta ver que os centros das circunferências equidistam dos
pontos de concorrência das circunferências.... então eles determinam a
mediatriz da corda comum. (CQD)
......................................................
Sejam, então, O1, O2 e O3 os centros dos círculos em ABP, ACQ e BCR,
respectivamente. E sejam também, T = O1O2xAN , U = O2O3xCN e V = O1O3x BN .
Assim, #O1TNV é inscritível => ang(BNM) = ang(O2O1O3) = ang(ABC)...
Analogamente, analisando #O2TNU e #O3UNV, vemos que ang(O1O2O3)=ang(BAC) e
ang(O1O3O2)=ang(ACB) => O1O2O3 é semelhante a ABC. (CQD)
      ¡Villard !
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