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Caros amigos da lista,
Uma equação diofantina a.x + b.y = c, em que a diferente de zero ou b diferente de zero, admite solução se, e somente se, d = mdc (a,b) divide c.
No caso particular de mdc (a, b) =1, toda equação diofantina da forma acima admite infinitas soluções inteiras, pois, 1 | a, para todo a inteiro. No caso em que mdc (a,b) = d, por definição d | a e d | b , sendo (m,n) uma solução da equação diofantina, temos : am+bn = c, e portanto d |am + bn, ou seja, d | c.
Por outro lado, se d = mdc (a,b), um teorema, já
comentado pelo Prof. José Paulo, garante que existem inteiros m e n tais que
a.m + b.n = d como d | c (hipótese), esiste k inteiro,
tal que c = d.t, para algum t inteiro.
Asssim, c = d.t = (a.m+b.n).t = a(mt)+b.(n.t). Logo, (m.t, n.t
) é a ssoluçào da equação a.x+b.y = c.
Atenciosamente, Edmilson http://www.abeunet.com.br/~edmilson edmilson@abeunet.com.br -----Mensagem Original----- De: Ecass Dodebel <ecassdodebel@hotmail.com> Para: <obm-l@mat.puc-rio.br> Enviada em: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 20:55 Assunto: Re: Problema de inteiros > > Caro Marcos Eike Tinen dos Santos, > > concordo com a sua colocação de que importante é entender que quando > mdc(x,y)>1 não podemos obter todos os números somando multiplos desses. > Agora, tratemos do outro problema onde eu me compliquei todo: > queremos que ax + by = n, com mdc(x,y)=1 e a,b > 0, para isso temos que > descobrir um N onde satisfazemos essas condições com o n > N. > > Na minha solução acho que para N = 2xy sempre conseguimos, mas usei aquele > processo que eu achei meio artificial e confuso de somar e diminuir axy... > alguma outra idéia? > > Obrigado! > > > >From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" <mjsanto@carajasnet.com.br> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br> > >Subject: Re: Problema de inteiros > >Date: Mon, 24 Apr 2000 19:31:30 -0300 > > > >sim, amigo José, eu só comentei, pois acredito que este seja um dos pontos > >cruciais na solução do problema. > > > > > >Ats, > >Marcos Eike > > > >----- Original Message ----- > >From: José Paulo Carneiro <jpcarneiro@openlink.com.br> > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br> > >Sent: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 17:51 > >Subject: Re: Problema de inteiros > > > > > > > Se nao forem primos entre si, eh falso. Como voce vai obter 5, que eh > >impar, > > > como uma soma de multiplos de 4 e 6? > > > > > > -----Mensagem original----- > > > De: Marcos Eike Tinen dos Santos <mjsanto@carajasnet.com.br> > > > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br> > > > Data: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 11:06 > > > Assunto: Re: Problema de inteiros > > > > > > > > > >Um dos fatos importantes a ser considerado, é: Por que o problema nos > >impõe > > > >a propriedade de que eles devem ser primos entre si. Será que foi por > > > acaso? > > > >Eu penso que essa resposta é a metade do caminho para uma solução bem > > > >formulada. > > > > > > > >Ats, > > > >Marcos Eike > > > > > > > > > > > >----- Original Message ----- > > > >From: Ecass Dodebel <ecassdodebel@hotmail.com> > > > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br> > > > >Sent: Sábado, 22 de Abril de 2000 17:42 > > > >Subject: Problema de inteiros > > > > > > > > > > > >> E ai, pessoal? > > > >> > > > >> Eu estava tentando resolver um dos problemas propostos na última > >Eureka! > > > e > > > >> acabei chegando em uma parte que consigo seguir adiante mas é muito > > > >> trabalhosa a minha prova, e não sei se está bem certa. Lá vai. > > > >> > > > >> 1) Sejam x e y dois números primos entre si. Provar que podemos obter > > > >> qualquer número somando múltiplos de x e de y. > > > >> > > > >> Solução. > > > >> Queremos provar que para todo o x,y,n dados, podemos achar f e g de > >modo > > > >que > > > >> > > > >> fx + gy = n ( a soma de múltiplos de x e de y dão o n ) > > > >> > > > >> Isola-se o f, ou o g... no caso isolei o f: > > > >> > > > >> f = (n - gy)/x > > > >> > > > >> Agora nos basta encontrar g de modo que x | n - gy. Para quem sabe um > > > >> pouquinho de Teoria dos Números, eu acho que se variarmos o y num > >s.c.r. > > > >> então o n - gy será um s.c.r. módulo x, e estaria provado. Mas vamos > >por > > > >> partes: > > > >> > > > >> Suponhamos que > > > >> > > > >> n - g1y =/= n - g2y (mod x) '=/= incongruente > > > >> g1y =/= g2y (mod x) ==> afirmação similar a x não divide y(g1-g2) > > > >> > > > >> Como mdc(x,y)=1 então > > > >> > > > >> g1 =/= g2 (mod x) > > > >> > > > >> Vale tambem que se g1 =/= g2 (mod x) então n - g1y =/= n - g2y (mod > >x). > > > >> Agora escolhemos x números incongruentes módulo x (g1,...,gx), ou > >seja, > > > >que > > > >> nunca deixem o mesmo resto na divisão por x. E necessariamente: > > > >> > > > >> n - giy =/= n - gjy (mod x) para todo o i e j > > > >> > > > >> Ou seja, nesses x números (n-g1y,...,n-gxy), todos são incongruentes > > > >módulo > > > >> x, e como existem apenas x restos possíveis na divisão por x, > > > >> necessariamente algum deles deixará resto zero na divisão por x, e > > > >portanto > > > >> haverá um g, tal que: > > > >> > > > >> f = (n - gy)/x será inteiro, e está provado o enunciado. > > > >> > > > >> 2) Sejam x e y dois números primos entre si. Prove que existe um N, > >de > > > >modo > > > >> que para todo o n > N, podemos escolher múltiplos positivos de x e de > >y > > > >que > > > >> somados dão n. Nessas condições teremos que ter > > > >> > > > >> Solução. > > > >> O problema pede para que mostremos que existem f e g positivos de > >modo > > > >que, > > > >> para n > N > > > >> > > > >> fx + gy = n (lembrando que é todo mundo inteiro nesse e-mail) > > > >> > > > >> A minha idéia é a seguinte, claramente xy - yx = 0, e portanto para > >todo > > > o > > > >a > > > >> vale axy - ayx = 0, daí: > > > >> > > > >> fx + gy + axy - ayx = n > > > >> (f + ay)x + (g - ax)y = n, para qualquer a que escolhermos > > > >> > > > >> Quero mostrar que existirá um a, a partir de um dado n, para que f + > >ay > >e > > > >g > > > >> - ax sejam ambos positivos. > > > >> > > > >> Conseguimos escolher a de modo que (f + ay)x - (g - ax)y = fx - gy + > >2ayx > > > >> esteja entre -yx e yx, basta mostrar que nesse intervalo teremos f+ay > >e > > > >g-ax > > > >> sempre positivos. > > > >> > > > >> Tanto f+ay quanto g-ax podem ficar entre [ n-xy ; n+xy ], ou seja > >basta > > > >que > > > >> n-xy>0 e portanto que n > xy. Logo para N = xy vale o enunciado. > > > >> > > > >> > > > >> Obrigado para quem leu! E tem algum erro? > > > >> Valeu... > > > >> > >________________________________________________________________________ > > > >> Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at > >http://www.hotmail.com > > > > > > > > > > > > > > ________________________________________________________________________ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > > |