Re: Problema de Geometria

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,
Saudacoes a Todos !

A desigualdade em foco decorre diretamente da DESIGUALDADE
TRIANGULAR, vale dizer, promana do fato de que EM QUALQUER
TRIANGULO QUALQUER LADO E MENOR QUE A SOMA DOS OUTROS DOIS.
Para ver isso, sejam "a", "b" e "c" os lados de um trangulo
qualquer. Entao:

a < b+c => a + (b+c) < b+c + (b+c) => a+b+c < 2*(b+c)
1/(a+b+c) > 1/(2*(b+c)) => a/(a+b+c) > a/(2*(b+c))

Usando um raciocinio identido, porem partindo de :

b < a+c, chegaremos a ...   b/(a+b+c) > b/(2*(a+c))

c < a+b, chegaremos a ...   c/(a+b+c) > c/(2*(a+b))

Somando estas tres desigualdades, ficara :

1 > (1/2)*( a/(b+c) +  b/(a+c)  +  c/(a+b) )

ou :  a/(b+c) +  b/(a+c)  +  c/(a+b) < 2

Tal "Como Queriamos Demonstrar". A expressao

a/(b+c) +  b/(a+c)  +  c/(a+b)

Nao possui somente o limitante superior, tal como acabamos
de mostrar. Ela tambem admite um limitante inferior,
decorrencia do fato de que as medidas dos lados de um
triangulos poderem ser interpretadas como numeros reais
positivos. Afirmamos que :

a/(b+c) +  b/(a+c)  +  c/(a+b) >= 3/2

Quaisquer que sejam "a", "b" e "c" reais positivos. Assim,
temos :

3/2 =< a/(b+c) +  b/(a+c)  +  c/(a+b) < 2

A desigualdade esquerda, aqui tao somente postulada, e de
demonstracao tao simples quando a da direita. Fica como
Exercicio.

a todos,
Os Melhores Votos
de Paz Profunda !

Paulo Santa Rita
4,0927,05042000




On Tue, 28 Mar 2000 06:31:02 +0200
"Marcio" <mcohen@iis.com.br> wrote:
>       Como resolver?
>
>        Sejam a,b,c lados de um triangulo.
>
>            Prove que     [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ] <
>2
>
>    Abraços,
>    Marcio
>

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