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Re :Problema de Geometria



Como resolver?

        Sejam a,b,c lados de um triangulo.

            Prove que     [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ] <  2

    Abra�os,
    Marcio
 
Caros amigos da lista, eu acho que minha solu��o est� correta, mas pe�o para verificarem se h� algum furo.
 
Sejam a, b, c lados de um tri�ngulo. Prove que  a /(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2.
 
Podemos supor sem perda de generalidade que  a b c (todos positivos)
 
Da�, a + c b +c  == >  1/(a+c)  � 1/(b+c)  ==>  b/(a+c)  � b/(b+c)   ( i )  e tamb�m,
 
       a + b b +c  == >  1/(a+b)  � 1/(b+c)  ==>  c/(a+b)  � c/(b+c)   ( ii ).
 
Substituindo (i) e (ii) no primeiro membro da desigualdade a provar e usando a condi��o de exist�ncia de tri�ngulos (a < b+c), temos :
 
a /(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)    a /(b+c) + b/(b+c) + c/(b+c) = a /(b+c) + (b+c)/(b+c) = a/(b+c) + 1 < 1 + 1 = 2.
 
Atenciosamente,
Edmilson