Re: Alguns problemas

[Olimpiada Brasileira de Matematica <obm@xxxxxxx>]

Caro Douglas, os problemas da lista nao podem ser difundidos ate' 
duas semanas apos o prazo de entrega final da lista.
Por favor nao resolvam isto na lista.


Estes são alguns problemas da lista de preparação para a olimpíada
>iberoamericana. Agradeço se alguém puder enviar alguma solução.
>
>1-) Dado um triângulo acutângulo ABC, seja D o ponto médio do arco BC do
>circuncírculo de ABC, não contendo A. Os pontos que são simétricos a D com
>relação à reta BC e com relação ao centro do circuncírculo são denotados E e
>F, respectivamente. Finalmente, seja K o ponto médio do segmento EA.
>Demonstre que
>(a) a circunferência que passa pelos pontos médios dos lados do triângulo
>ABC também passa por K
>(b) a reta passando por K e pelo ponto médio do segmento BC é perpendicular
>a AF.
>
>2-) Encontre todos os primos p, q para os quais pq divide
>(5^p-2^p)(5^q-2^q).
>
>3-) Dado o triângulo ABC com bissetrizes BM e CN (M pertence a AC, N
>pertence a AB); a semi-reta MN intercepta o circuncírculo do triângulo ABC
>no ponto D. Prove que
>
>1/BD=1/AD+1/CD
>
>4-) Encontre o menor inteiro positivo K tal que todo subconjunto com K
>elementos de {1,2,...,50} contém dois elementos distintos  a, b tais que a+b
>divide ab.
>
>5-) Dado um inteiro x>=2, encontre o valor mínimo de
>
>x1^5/(x2+x3+...+xn)+x2^5/(x3+...+xn+x1)+...+xn^5/(x1+...+x[n-1])
>
>para números reais positivos x1,...,xn satisfazendo a condição
>x1^2+...+xn^2=1.
>
>6-) Prove que, para todo inteiro positivo n, existe um polinômio com
>coeficientes inteiros cujos valores em 1,2,...,n são diferentes potências de
>2.
>
>7-) Determine os inteiros N>=3 para os quais existem N pontos no plano, não
>estando três em uma mesma reta, tais que cada triângulo formado por 3
>vértices do fecho convexo deste conjunto de pontos contém exatamente um dos
>pontos em seu interior.
>
>8-) Sejam AA1, BB1, CC1 as alturas de um triângulo acutângulo ABC e O um
>ponto arbitrário no interior do triângulo A1B1C1. Denotamos: M e N os pés
>das perpendiculares desenhadas de O até as retas AA1 e BC, respectivamente;
>P e Q, de O até as retas BB1 e CA, respectivamente; R e S, de O até as retas
>CC1 e AB, respectivamente. Prove que as retas MN, PQ, RS são concorrentes.
>
>9-) Encontre todas as funções f: Z->Z tais que f(1)=1 e
>
>f(m+n)*[f(m)-f(n)]=f(m-n)*[f(m)+f(n)]
>
>para quaisquer m e n em Z.
>
>Agradeço desde já.
>Douglas Coimbra de Andrade
>
>
>
>