Alguns problemas

["Douglas C. Andrade" <douglas@xxxxxxxxxxxxx>]

Estes são alguns problemas da lista de preparação para a olimpíada
iberoamericana. Agradeço se alguém puder enviar alguma solução.

1-) Dado um triângulo acutângulo ABC, seja D o ponto médio do arco BC do
circuncírculo de ABC, não contendo A. Os pontos que são simétricos a D com
relação à reta BC e com relação ao centro do circuncírculo são denotados E e
F, respectivamente. Finalmente, seja K o ponto médio do segmento EA.
Demonstre que
(a) a circunferência que passa pelos pontos médios dos lados do triângulo
ABC também passa por K
(b) a reta passando por K e pelo ponto médio do segmento BC é perpendicular
a AF.

2-) Encontre todos os primos p, q para os quais pq divide
(5^p-2^p)(5^q-2^q).

3-) Dado o triângulo ABC com bissetrizes BM e CN (M pertence a AC, N
pertence a AB); a semi-reta MN intercepta o circuncírculo do triângulo ABC
no ponto D. Prove que

1/BD=1/AD+1/CD

4-) Encontre o menor inteiro positivo K tal que todo subconjunto com K
elementos de {1,2,...,50} contém dois elementos distintos  a, b tais que a+b
divide ab.

5-) Dado um inteiro x>=2, encontre o valor mínimo de

x1^5/(x2+x3+...+xn)+x2^5/(x3+...+xn+x1)+...+xn^5/(x1+...+x[n-1])

para números reais positivos x1,...,xn satisfazendo a condição
x1^2+...+xn^2=1.

6-) Prove que, para todo inteiro positivo n, existe um polinômio com
coeficientes inteiros cujos valores em 1,2,...,n são diferentes potências de
2.

7-) Determine os inteiros N>=3 para os quais existem N pontos no plano, não
estando três em uma mesma reta, tais que cada triângulo formado por 3
vértices do fecho convexo deste conjunto de pontos contém exatamente um dos
pontos em seu interior.

8-) Sejam AA1, BB1, CC1 as alturas de um triângulo acutângulo ABC e O um
ponto arbitrário no interior do triângulo A1B1C1. Denotamos: M e N os pés
das perpendiculares desenhadas de O até as retas AA1 e BC, respectivamente;
P e Q, de O até as retas BB1 e CA, respectivamente; R e S, de O até as retas
CC1 e AB, respectivamente. Prove que as retas MN, PQ, RS são concorrentes.

9-) Encontre todas as funções f: Z->Z tais que f(1)=1 e

f(m+n)*[f(m)-f(n)]=f(m-n)*[f(m)+f(n)]

para quaisquer m e n em Z.

Agradeço desde já.
Douglas Coimbra de Andrade