Dúvida sobre um problema da IMO...

["Marcos Eike Tinen dos Santos" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Estudando um problema da IMO de 1996

We are given a positive integer r and a rectangular board divided into 20 x
12 unit squares. The following moves are permitted
on the board: one can move from one square to another only if the distance
between the centers of the two squares is Ör. The
task is to find a sequence of moves leading between two adjacent corners of
the board which lie on the long side.

(a)  Show that the task cannot be done if r is divisible by 2 or 3.
(b)  Prove that the task is possible for r = 73.
(c)  Can the task be done for r = 97?


No ítem 1, observe que fiz:

Se r é divisível por 2 e 3 então, por definição r é um múltiplo de 2 e 3.
Como no enunciado d = sqrt(r) => d^2 = r

Considerando tal fato, supûs um eixo cartesiano de tal forma que pudesse
trabalhar com essa distância d, em qualquer parte do tabuleiro.

d^2 = a^2 + b^2 => r = a^2 + b^2

Então de r é divisível por 2 e por 3, então:

a^2 + b^2 também o é.

Podemos considerar que a^2 e b^2 seja divisível por 2 e 3.

Veja que todas os quadrados pode ser congruentes a 0 mod 3 ou a 1 mod 3.
Então, a e b são múltiplos de 3.


de fato : (a^2 + b^2)/3. Considerando que o começo seja na coordenada (0,0),
então, temos coordenadas (3m,3n), e a única solução ao sistema é (19,0).
cqd..


Acho que provei de forma um pouco coerente, mas depois de revisar minha
prova, observei que se eu levasse a peça a coordenada (18,0).

Teríamos, como dividir por 3 e por 2 o sistema..

r = a^2 + b^2 .


Aí, eu me indaguei será que eu interpreto a distância como a soma das
distâncias, ou seja, eu movo a peça para várias posições e somo esse
percurso, ou a interpreto como sendo a distância final.



Muito Obrigado!

Marcos Eike