Re: como provar (pol�gonos)?

[Bruno Leite <superbr@xxxxxxx>]

At 22:53 07/02/00 -0200, you wrote:
>que as alturas de um tri�ngulo se cortam em um ponto? Isto vale para
>demais pol�gonos (acho que s� convexos). H� outra limita��o?
>Ah, aproveitem e demonstrem que as bissetrizes e medianas tb se
>intersectam.
>
>Abra�o,
>
>Benjamin Hinrichs

� MUITO f�cil provar que as medianas concorrem num �nico ponto, se vc usar
o Teorema de Ceva.

Bissetrizes:

b(A) � a bissetriz de A

b(A) equidista de AB e AC, e b(B) equidista de BA e BC. Seja J o ponto em
que elas se cortam. J equidista de AB, AC, BC, em especial de CA e CB.
Portanto J pertence � terceira bissetriz!

Para as alturas use tamb�m o teorema de Ceva lembrando que o p� da altura
divide o lado AB em dois peda�os de tamanho b.cosA   e    a.cos B.

A prop�sito o Teorema de Ceva � assim:

Seja P um ponto interno do tri�ngulo. AP corta BC em A`, BP corta AC em B`,
CP corta AB em C`.

Ent�o BA`   x    CB`   x    AC` = A`C   x    B`A   x   C`B

Por outro lado, se essa rela��o vale ent�o AA`, BB`e CC` se cortam em P.


Bruno Leite