Re: Viciados em Math. LOOK:

["Marcos Eike Tinen dos Santos @ ITA @" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Descobri também que supondo a = p/q e b = q/p temos:

f(p/q) = -f(q/p)

Não sei se adianta alguma coisa.

Mas, Muito Obrigado!!

Tentarei pensar mais.
Matemática é pensar. :)

Marcos Eike


"Os grandes cientistas navegam às cegas" Marcos Eike :)

'Imagination is more important than knowledge. Knowledge is limited.
Imagination encircles the world'
Albert Einstein
-----Mensagem original-----
De: Ralph Costa Teixeira <ralph@visgraf.impa.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 24 de Janeiro de 2000 23:31
Assunto: Re: Viciados em Math. LOOK:


>
>> Sejam Q e Z, conjunto dos racionais estritamente positivos e o conjunto
dos
>> inteiros. Determine todas as funções f: Q --> Z satisfazendo as seguintes
>> condições:
>>
>> 1) f(1999) =1
>> f(ab) = f(a) + f(b), para quaisquer a, b pertencente Q
>> f(a + b) >= min {f(a), f(b)}, para quaisquer a,b pertencente a Q
>
> Basta defini-la nos naturais. De fato, suponha que f satisfaz estas
>tres condicoes nos naturais. Entao hah uma maneira unica de
>estende-la... Dado p racional, escreva p = a/b com a e b naturais primos
>entre si; entao
>
> f(a) = f(pb) = f(p) + f(b) => f(p) = f(a) - f(b) estah definida
>
> Note que mesmo que escrevamos p como uma fracao redutivel, digamos,
>p = (am)/(bm) entao f(am) - f(bm) = f(a) + f(m) - f(b) - f(m) = f(a) -
>f(b).
>
> Note que se (i), (ii) e (iii) valem nos naturais, entao valem nos
>racionais... De fato, (i) eh imediato. Para (ii) e (iii), suponha que
>p=a/b e q=c/d sao 2 racionais quaisquer; entao
>
>(ii) f(pq) = f(ac/bd) = f(ac) - f(bd) = f(a/b) + f(c/d) = f(p) + f(q)
>
>(iii)   Suponha f(p) >= f(q) sem perda de generalidade para obter
> f(a/b) >= f(c/d); f(a)-f(b)>=f(c)-f(d); f(ad) >= f(bc);
>f(ad+bc) >= f(bc) (aqui, usando (iii) nos naturais)
> e entao
> f(p+q) = f((ad+bc)/bd) = f(ad+bc) - f(bd) >= f(bc) - f(bd) =
>= f(c/d) = f(q) = min{f(p),f(q)}
>
> Agora, que funcoes f SATISFAZEM (i), (ii) e (iii) nos naturais, eu
>ainda nao sei mesmo... Eu sei de uma que serve:
>
> f(n) = expoente de 1999 na decomposicao de n em fatores primos
>
> certamente funciona, mas nao sei se eh a unica.
>
> Abraco,
> Ralph