Re: Viciados em Math. LOOK:

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

> Sejam Q e Z, conjunto dos racionais estritamente positivos e o conjunto dos
> inteiros. Determine todas as funções f: Q --> Z satisfazendo as seguintes
> condições:
> 
> 1) f(1999) =1
> f(ab) = f(a) + f(b), para quaisquer a, b pertencente Q
> f(a + b) >= min {f(a), f(b)}, para quaisquer a,b pertencente a Q

	Basta defini-la nos naturais. De fato, suponha que f satisfaz estas
tres condicoes nos naturais. Entao hah uma maneira unica de
estende-la... Dado p racional, escreva p = a/b com a e b naturais primos
entre si; entao

	f(a) = f(pb) = f(p) + f(b) => f(p) = f(a) - f(b) estah definida

	Note que mesmo que escrevamos p como uma fracao redutivel, digamos,
p = (am)/(bm) entao f(am) - f(bm) = f(a) + f(m) - f(b) - f(m) = f(a) -
f(b).

	Note que se (i), (ii) e (iii) valem nos naturais, entao valem nos
racionais... De fato, (i) eh imediato. Para (ii) e (iii), suponha que
p=a/b e q=c/d sao 2 racionais quaisquer; entao

(ii)	f(pq) = f(ac/bd) = f(ac) - f(bd) = f(a/b) + f(c/d) = f(p) + f(q)

(iii)   Suponha f(p) >= f(q) sem perda de generalidade para obter
	f(a/b) >= f(c/d); f(a)-f(b)>=f(c)-f(d); f(ad) >= f(bc);
f(ad+bc) >= f(bc) (aqui, usando (iii) nos naturais)
	e entao
	f(p+q) = f((ad+bc)/bd) = f(ad+bc) - f(bd) >= f(bc) - f(bd) =
= f(c/d) = f(q) = min{f(p),f(q)}

	Agora, que funcoes f SATISFAZEM (i), (ii) e (iii) nos naturais, eu
ainda nao sei mesmo... Eu sei de uma que serve:

	f(n) = expoente de 1999 na decomposicao de n em fatores primos

	certamente funciona, mas nao sei se eh a unica.

	Abraco,
		Ralph