Re: Mais Problemas

["The Buddha's Sun" <obuddha@xxxxxxxxxx>]

-----Mensagem original-----
De: David Pereira <david.pereira@samnet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 10 de Janeiro de 2000 20:53
Assunto: Mais Problemas


>1) Encontre todos os inteiros positivos que são menores que 1000 e cumprem
a
>seguinte condição: o cubo da soma dos seus dígitos é igual ao quadrado do
>referido inteiro.


Hehe, este problema da última Ibero é bonitaço. Este problema tem história
gaúcha. O Duda e eu resolvemos ele no quadro de uma das salas da UFRGS, cada
um dando uma idéia, antes da aula começar. Chegamos a uma conclusão: ele é
fácil de mais para estar em tal olimpíada. Não me lembro da solução, mas vou
ir escrevendo e achando:

Tipo, podemos ter umas das duas hipóteses:

(a + b + c)^3 = (100a + 10b + c)^2  ou
(a + b)^3 = (10a + b)^2.

Denotemos o número que satisfaz a
propriedade do enunciado de N.

Escolhendo qualquer uma das hipóteses, temos um cubo igual a um quadrado.
Extraindo a raiz cúbica dos dois lados da igualdade, temos que a raiz cúbica
de (100a + 10b + c)^2 ou de (10a + b)^2 é inteira, ou seja, N é um cubo.

Aí, é só testar os cubos menores que 1000 = 10^3. O único que satisfaz o
enunciado é 3^3 = 27, pois 9^3 = 27^2 (3^6 = 3^6)

Feito o carreto.

Lucas