Re: Equação de Pell

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, 22 Oct 1999, Bruno Leite wrote:

> Em vários problemas, chega-se a x^2 - 2y^2=k, geralmente k=1 ou 2. A partir 
> daí, não sei ir pra frente. Meu amigo disse-me que era para aplicar 
> a(!!)Equação de Pell(!!).Alguém sabe o que é e como se resolve uma eq. 
> dessas?

A equação de Pell mais clássica é justamente x^2 - b y^2 = +-1.
Ela sempre admite infinitas soluções se b é positivo e livre de quadrados,
i.e., se b é um produto de primos distintos.
Nem sempre existe solução com o lado direito igual a -1
mas se existir pelo menos uma existem infinitas.
Tudo isso pode ser encontrado em qualquer bom livro de teoria dos números
mas segue aí abaixo um esboço...

Para ver estes fatos considere A = { x + y sqrt(b); x, y \in Z}
(onde Z é o conjunto dos inteiros). Este conjunto A é um anel,
i.e., além de conter 0 e 1 é fechado pelas operações de + e *.
Existe em A uma operação de conjugação que leva z = x + y sqrt(b)
em z' = x - y sqrt(b). O produto zz' é x^2 - b y^2.
Se definimos a norma de z por |z| = x^2 - b y^2 temos:

|z| = 0     <==>    z = 0
|z| = +-1   <==>    z é inversível
|zw| = |z| |w|

Precisamos portanto demonstrar que existem outros inversíveis em A
além de +-1. Pell (ou será que foi mesmo Pell?) nos ensina inclusive
como encontrar uma tal solução. Escreva

x^2 - b y^2 = 1

como

|(x/y)^2 - b| = 1/y^2

ou

|x/y - sqrt(b)| |x/y + sqrt(b)| = 1/y^2.

Assim, para obtermos soluções não triviais,
um dos dois termos |x/y -+ sqrt(b)| deve ser pequeno, sem perda:

|x/y - sqrt(b)| ~= 1/(2 sqrt(b) y^2)

Ou seja, queremos encontrar boas aproximações racionais para sqrt(b).
Para isso expandimos sqrt(b) em frações contínuas:
pode-se demonstrar que encontraremos soluções.

Depois de encontrado um elemento z0 = x0 + y0 sqrt(b) inversível
com y0 mínimo podemos obter todos os elementos inversíveis facilmente:
z = +- (z0)^n onde n assume todos os valores inteiros positivos e
negativos.

 
> 
> Bruno Leite
> PS.Boa sorte a todos amanhã.(apesar de que sou eu quem mais vai precisar 
> dessa sorte...)
> 
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> 

Boa sorte a todos. []s, N.
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