Re: Logaritmos

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

    Acho que fica mais facil considerando a funcao g(x) = x - e*ln(x), pois
tomando ln dos dois lados de e^pi - pi^e temos : pi*ln(e)-e*ln(pi) = pi -
e*ln(pi)
    Considerando a funcao g(x) = x - e*ln(x)
Temos g'(x) = 1 - e/x, e g'(x)=0 => x=e
Para x > e, g'(x) > 0 logo, g(x) eh crescente para x>e.
Entao, como e<3<pi, temos g(pi) > g(e) = e - e = 0
Logo, como g(pi) > 0: pi - e*ln(pi) > 0 => pi*ln(e) - e*ln(pi) > 0 =>
ln(e^pi) - ln(pi^e) > 0 => ln(e^pi) > ln(pi^e) =>e^pi > pi^e, pois o ln eh
uma funcao crescente.

    No caso da sua pergunta, ha sim outra solucao para a sua f'(x) (existem
apenas duas)..
pois :
e^x - e*x^(e-1) = 0  =>  e^x = e*x^(e-1) => ?
Restringindo o dominio aos numeros positivos (ja que pi>e>0) e tirando ln
dos dois lados:
x = 1 + (e-1)ln(x) =>
x-1 = (e-1)ln(x).
 Desenhando o grafico das duas funcoes [da p/ desenhar o grafico tanto
de x-1 quanto de ln(x)] vemos que os dois graficos cortam-se em apenas
dois pontos. E por inspecao encontramos as duas unicas raizes, que sao
x=1 e x=e.
 Temos  f''(x) = e^x - e*(e-1)*x^(e-2) e portanto
  f''(e) = e^e - e*(e-1)*e^(e-2) =  e^e - (e^2-e)*e^(e-2) = e^e - (e^e -
e^(e-1)) = e^(e-1) > 0
 Logo, como f''(e) > 0, f(e) eh um valor de minimo local da funcao, e nao
maximo. Desse modo, como pi>e e nao ha mais pontos "criticos" maiores do que
e, temos f(pi) > f(e) = 0 => e^pi>pi^e.

     Note que f''(1) = e - e*(e-1) = 2e - e^2 < e*e - e^2 = 0 (ja que 2<e).
Logo, como f''(1) < 0, a funcao tem um minimo local em f(1), o que esta de
acordo com o que voce achou. Ou seja, sua solucao esta correta exceto pelo
fato de existir uma outra raiz em x=1 de modo que f(e) eh minimo. Mas tem
outra coisa ainda: E se f''(e) fosse zero e nao houvesse nem maximo nem
minimo em x=e, e a funcao simplesmente continuasse "crescente"
como em x=0 eternamente? Era melhor ter considerado tambem o valor de f'(x)
num ponto maior do que e.
    Abracos,
    Marcio


-----Original Message-----
From: Shridhar Jayanthi <shridhar@uol.com.br>
To: Obm <obm-l@mat.puc-rio.br>
Date: Sexta-feira, 15 de Outubro de 1999 11:13
Subject: Logaritmos


>
>-----Mensagem original-----

>> Quem e maior: e^pi ou pi^e ?
>
>Desculpem esta entrada perpendicular mais eu vou apresentar uma solução
>(gostaria q corrigissem os erros...):
>
>    Considerando a funcao f(x)=e^x - x^e, o que queremos saber eh se,
quando
>x=pi, f(x) é maior ou menor que zero.  Fazendo df(x)/dx, teremos que:
>
>d/dx f(x) = e^x - e*x^(e-1). Chamando d/dx f(x) de f'(x),
>
>f'(x)=e^x-e*x^(e-1)
>Considerando que f'(x)=0 só tem uma solução (se alguem souber como provar
>avise-me) essa solucao serah e (descobri por tentativa e erro).
>f'(0)=e^0-0=1, portanto em f(0) a funcao eh crescente
>f'(e)=e^e-e*e^(e-1) = e^e-e^e=0 , portanto em f(e) a funcao tem valor
>maximo.
>f(e)=e^e-e^e=0, portanto f(x)<0 para x diferente de e.
>Como pi e diferente de e (dã), então f(pi)<0
>Desenvolvendo f(pi), teremos que
>    e^pi - pi^e < 0
>    e^pi < pi^e ====> resposta
>
>Eu dei uma esfaqueada na nossa querida matematica quando considerei que
>f'(x) tem soh uma solucao. Se alguém souber provar isso ou o contrario me
>avise
>>
>>