Logaritmos

["Shridhar Jayanthi" <shridhar@xxxxxxxxxx>]

-----Mensagem original-----
De: Shridhar Jayanthi <shridhar@uol.com.br>
Para: obm-l@mat.puc.rio.br <obm-l@mat.puc.rio.br>
Data: Sexta-feira, 15 de Outubro de 1999 12:02
Assunto: Re: Logaritmos

> Quase todas as desigualdades envolvendo (1 + 1/n)^n sao resolvidas assim,
> trocando 1/n por uma f(u) tal que quando n vai para o infinito, u tambem
> vai. Uma questao relacionada, porem um pouco mais trabalhosa e que vai
> precisar de calculo diferencial e :
>
> Quem e maior: e^pi ou pi^e ?

Desculpem esta entrada perpendicular mais eu vou apresentar uma solução
(gostaria q corrigissem os erros...):

    Considerando a funcao f(x)=e^x - x^e, o que queremos saber eh se, quando
x=pi, f(x) é maior ou menor que zero.  Fazendo df(x)/dx, teremos que:

d/dx f(x) = e^x - e*x^(e-1). Chamando d/dx f(x) de f'(x),

f'(x)=e^x-e*x^(e-1)
Considerando que f'(x)=0 só tem uma solução (se alguem souber como provar
avise-me) essa solucao serah e (descobri por tentativa e erro).
f'(0)=e^0-0=1, portanto em f(0) a funcao eh crescente
f'(e)=e^e-e*e^(e-1) = e^e-e^e=0 , portanto em f(e) a funcao tem valor
maximo.
f(e)=e^e-e^e=0, portanto f(x)<0 para x diferente de e.
Como pi e diferente de e (dã), então f(pi)<0
Desenvolvendo f(pi), teremos que
    e^pi - pi^e < 0
    e^pi < pi^e ====> resposta

Eu dei uma esfaqueada na nossa querida matematica quando considerei que
f'(x) tem soh uma solucao. Se alguém souber provar isso ou o contrario me
avise
>
>
>
>
>