Re: Desafio...

["Heleno Meira" <helenos@xxxxxxxxxx>]

Para justificar é só usar o conceito de derivada para função potencia:

sendo f(x) = x^n , n pertencenta a N*+

delta y /delta x  =  f'(x) = ( f( x + delta x) - f(x))/delta x  = ((x +
delta x)^n - x^n)/delta x

=
(x^n*C n,0 + x^(n-1)*C n,1 *(delta x)+ x^(n-2)*C n,2 *(delta x)^2+  ... C
n,n *(delta x)^n + - x^n)/(delta x)

=
 x^(n-1)*C n,1 + x^(n-2)*C n,2 *(delta x)+ x^(n-3)*C n,3 *(delta x)^2  + ...
C n,n *(delta x)^(n-1)

f'(x) = lim delta y/ delta x (para delta x tendendo a 0) = x^(n-1)*Cn , 1 =
n*x^(n - 1)

então para f(x) = k*x^n , f'(x) = n*k*x^(n-1) , sendo que esse processo pode
ser feito

para uma função polinômial f(x) = x^n + x^(n-1) + x( n - 2 ) + ... + c ,
calculando a derivada de cada termo e somando de novo, e sendo c uma
constante tal que
a derivada f'(c) =  f( c ) - f(c))/delta x   =>   f'(x) = 0 .

por isso a derivada de :
1+x+x^2+x^3+ ... = 1/(1-x),
 =
1+2x+3x^2+4x^3+ ... = 1/(1-x)^2

pois : sendo f(x) = 1/(1-x) e usando o coceito de derivada acima':
lim delta y /delta x  (para  delta x tendendo a 0)

f'(x) =  [1/(1 - x - delta x) - 1/(1 - x)]/delta x
f'(x) = 1/( 1 - x)^2  ou então como nossso amigo escreveu : f'(x) = 1/( x -
1)^2

Sugiro o livro  Fundamentos de matematica elementar V.8 para iniciantes.
O estudo da derivada e da integral é muito importante para o entendimento da
física do
3 ano, eletricidade.


ps. alguém entendeu aquela questàozinha?
que da (1,4), (1,8), (1,9), (1,15), (1,27), (1,32), (1,33), ... ?


um abraço

Heleno Meira



----- Original Message -----
From: José Paulo Carneiro <jpcarneiro@openlink.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, September 17, 1999 4:09 PM
Subject: Re: Desafio...


> Uma solucao alternativa para a turma da lista pensar
> e justificar:
>
> 1+x+x^2+x^3+ ... = 1/(1-x),  se  -1<x<1
>
> Derivando termo a termo (Justifique!):
>
> 1+2x+3x^2+4x^3+ ... = 1/(1-x)^2
>
> Fazendo x=1/2, vem:
>
> 1+2/2+3/4+4/8+ .. = 4
>
> [A finalidade disto eh estimular os iniciantes da lista:
> estudem "derivada" e um novo mundo se abrirah para
> voces :-) ]
>
> Jose Paulo
>
>
> -----Mensagem original-----
> De: Ralph Costa Teixeira <ralph@visgraf.impa.br>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Quarta-feira, 15 de Setembro de 1999 23:18
> Assunto: Re: Desafio...
>
>
> >Todos os SOMA sao somatorios de k=0 a k=INFINITO
> >
> >Note que SOMA 1/2^k = 2
> >
> >Se S = SOMA k/2^k, entao:
> >
> >2S = SOMA k/2^(k-1) = SOMA (j+1)/2^j
> >
> >onde tomamos k=j+1 (o termo k=0 pode ser ignorado)
> >
> >2S = SOMA j/2^j + SOMA 1/2^j = S+2
> >
> >S=2
> >
> >Portanto, a resposta final eh:
> >
> >SOMA (n+1)/2^n = SOMA n/2^n + SOMA 1/2^n = S + 2 = 4
> >
> >Claro, falta provar que essas series de fato convergem para que possamos
> >fazer essas manipulacoes... Para tanto, substitua os somatorios acima
> >por somatorios FINITOS e veja que podemos fazer todos os calculos em
> >funcao do numero N onde os somatorios terminam. Ai tome N -> INFINITO.
> >
> >Divirtam-se.
> >
> >Abraco, Ralph
> >
> >PS: Em geral, se S = SOMA (n^p)(q^n) para p e q constantes (somatorio em
> >n), note que:
> >
> >Sq = SOMA (n^p)(q^n+1) = SOMA ((n-1)^p)(q^n)
> >
> >e entao
> >
> >S - Sq = SOMA [n^p - (n-1)^p] q^n
> >
> >e voce reduz o problema a um similar onde o grau do polinomio em n foi
> >reduzido em uma unidade (para somatorios finitos, sobra um termo ou
> >outro nas pontas do somatorio que voce pode separar). Deste modo, voce
> >pode calcular a expressao acima para p=0,1,...,r e entao gerar a
> >expressao para p=r+1...
> >
> >Perdao se isto nao faz muito sentido, estou com pouco tempo no
> >momento...
> >
> >Abracos de novo,
> > Ralph
> >
> >Eduardo Casagrande Stabel wrote:
> >>
> >> Esse eu inventei. Quanto vale:
> >>
> >> 1/1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + 6/32 + 7/64 + 8/128 + 9/256 + 10/512 +
> 11/1024 + ... ?
> >>
> >> O termo generico eh  ( n+1 )/( 2^n ).
> >> duda
> >
>