Re: Desafio...

["José Paulo Carneiro" <jpcarneiro@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Uma solucao alternativa para a turma da lista pensar
e justificar:

1+x+x^2+x^3+ ... = 1/(1-x),  se  -1<x<1

Derivando termo a termo (Justifique!):

1+2x+3x^2+4x^3+ ... = 1/(1-x)^2

Fazendo x=1/2, vem:

1+2/2+3/4+4/8+ .. = 4

[A finalidade disto eh estimular os iniciantes da lista:
estudem "derivada" e um novo mundo se abrirah para
voces :-) ]

Jose Paulo


-----Mensagem original-----
De: Ralph Costa Teixeira <ralph@visgraf.impa.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 15 de Setembro de 1999 23:18
Assunto: Re: Desafio...


>Todos os SOMA sao somatorios de k=0 a k=INFINITO
>
>Note que SOMA 1/2^k = 2
>
>Se S = SOMA k/2^k, entao:
>
>2S = SOMA k/2^(k-1) = SOMA (j+1)/2^j
>
>onde tomamos k=j+1 (o termo k=0 pode ser ignorado)
>
>2S = SOMA j/2^j + SOMA 1/2^j = S+2
>
>S=2
>
>Portanto, a resposta final eh:
>
>SOMA (n+1)/2^n = SOMA n/2^n + SOMA 1/2^n = S + 2 = 4
>
>Claro, falta provar que essas series de fato convergem para que possamos
>fazer essas manipulacoes... Para tanto, substitua os somatorios acima
>por somatorios FINITOS e veja que podemos fazer todos os calculos em
>funcao do numero N onde os somatorios terminam. Ai tome N -> INFINITO.
>
>Divirtam-se.
>
>Abraco, Ralph
>
>PS: Em geral, se S = SOMA (n^p)(q^n) para p e q constantes (somatorio em
>n), note que:
>
>Sq = SOMA (n^p)(q^n+1) = SOMA ((n-1)^p)(q^n)
>
>e entao
>
>S - Sq = SOMA [n^p - (n-1)^p] q^n
>
>e voce reduz o problema a um similar onde o grau do polinomio em n foi
>reduzido em uma unidade (para somatorios finitos, sobra um termo ou
>outro nas pontas do somatorio que voce pode separar). Deste modo, voce
>pode calcular a expressao acima para p=0,1,...,r e entao gerar a
>expressao para p=r+1...
>
>Perdao se isto nao faz muito sentido, estou com pouco tempo no
>momento...
>
>Abracos de novo,
> Ralph
>
>Eduardo Casagrande Stabel wrote:
>>
>> Esse eu inventei. Quanto vale:
>>
>> 1/1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + 6/32 + 7/64 + 8/128 + 9/256 + 10/512 +
11/1024 + ... ?
>>
>> O termo generico eh  ( n+1 )/( 2^n ).
>> duda
>