Re: Desafio...

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Todos os SOMA sao somatorios de k=0 a k=INFINITO

Note que SOMA 1/2^k = 2

Se S = SOMA k/2^k, entao:

2S = SOMA k/2^(k-1) = SOMA (j+1)/2^j

onde tomamos k=j+1 (o termo k=0 pode ser ignorado)

2S = SOMA j/2^j + SOMA 1/2^j = S+2

S=2

Portanto, a resposta final eh:

SOMA (n+1)/2^n = SOMA n/2^n + SOMA 1/2^n = S + 2 = 4

Claro, falta provar que essas series de fato convergem para que possamos
fazer essas manipulacoes... Para tanto, substitua os somatorios acima
por somatorios FINITOS e veja que podemos fazer todos os calculos em
funcao do numero N onde os somatorios terminam. Ai tome N -> INFINITO.

Divirtam-se.

Abraco, Ralph

PS: Em geral, se S = SOMA (n^p)(q^n) para p e q constantes (somatorio em
n), note que:

Sq = SOMA (n^p)(q^n+1) = SOMA ((n-1)^p)(q^n)

e entao

S - Sq = SOMA [n^p - (n-1)^p] q^n

e voce reduz o problema a um similar onde o grau do polinomio em n foi
reduzido em uma unidade (para somatorios finitos, sobra um termo ou
outro nas pontas do somatorio que voce pode separar). Deste modo, voce
pode calcular a expressao acima para p=0,1,...,r e entao gerar a
expressao para p=r+1...

Perdao se isto nao faz muito sentido, estou com pouco tempo no
momento...

Abracos de novo,
		Ralph 

Eduardo Casagrande Stabel wrote:
> 
> Esse eu inventei. Quanto vale:
> 
> 1/1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + 6/32 + 7/64 + 8/128 + 9/256 + 10/512 + 11/1024 + ... ?
> 
> O termo generico eh  ( n+1 )/( 2^n ).
> duda