Re: Dúvida de correção

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, 14 Sep 1999, The Buddha's Son wrote:

> Caros:
> 
> O Newton, professor do meu colégio responsável pela OBM, está com
> dificuldade de corrigir as provas do nível 3. Por exemplo, um aluno deu a
> seguinte resposta ao problema 1 (da segunda fase):
> 
> Dividimos o círculo em quatro partes iguais (cada parte é um arco de
> extremos 1 e 2) . Observe que tudo o que acontece em uma parte, ocorre
> igualmente nas outras; então, vamos nos centrar em apenas uma das partes.
> 
> Primeiro colocamos um 3 (pois o arco tem extremos 1 e 2). Este já é o
> terceiro passo, não nos esqueçamos.
> Depois, colocamos um 4 (entre o 1 e o 3) e um 5 (entre o 2 e o 3). A soma é
> 3^2=9
> Após, colocamos os números 7, 8, 7 e 5. A soma é 3^3=27.
> Repare que o próximo passo, a soma será 3^4, e depois, 3^5, e assim por
> diante, até o 1999º passo (aí a soma será 3^1997).]
> 
> Logo, a soma total que o enunciado pede é 6 + 4( 3 + 3^2 + 3^3 + ... +
> 3^1997).

Está tudo correto.

> Nota: acrescentamos o 6 devido aos dois primeiros passos (2.1 + 2.2), e
> multiplicamos aquela soma por 4 porque existem 4 partes que foram divididas
> inicialmente.
> 
> Bem, o Newton e eu não vimos erro algum nesta solução, porém não é a mesma
> do gabarito. Queremos ajuda para a correção.

Como disse, a solução está correta. Temos

3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^1997 = (3^1998 - 3)/2

donde a resposta que o aluno encontrou é igual a 2 * 3^1998,
a resposta do gabarito. Faltou apenas simplificar a resposta final.

O fato do desenvolvimento ser um pouco diferente não é nada de mais.
Aliás, quem fez o gabarito desta questão não fui eu (acho que foi o Gugu)
e olhando agora o gabarito achei a solução oficial um pouco artificial.
Para que, por exemplo, considerar primeiro um semicírculo para depois
juntar os dois semicírculos, tendo ainda que ter o cuidado de não contar
os extremos em dobro? Não seria mais simples trabalhar com o círculo todo?
Se eu fosse escrever o gabarito, definiria S(n) como a soma sobre o
círculo todo, quem escreveu o gabarito preferiu semicírculos e você
preferiu quartos de círculo. Pura questão de gosto.

> Obrigado,
> 
> Lucas

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau