Re: Geometria

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, 4 Sep 1999, Eduardo Casagrande Stabel wrote:

> Se a,b,c sao lados de um triangulo retangulo e sao inteiros entao o
  produto abc eh sempre um mulltiplo de 60. Como se prova isso?

Basta provar que se a, b, c s�o inteiros com a^2 + b^2 = c^2 ent�o
(i) o produto abc � m�ltiplo de 4
(ii) algum dos tr�s n�meros a, b, c � m�ltiplo de 3
(iii) algum dos tr�s n�meros a, b, c � m�ltiplo de 5

Primeiro o item (ii).
Suponha por absurdo que nem a, nem b, nem c � m�ltiplo de 3.
Ent�o temos a^2 = b^2 = c^2 = 1 (mod 3)
(onde as igualdades devem ser lidos como congru�ncias).
Mas 1 + 1 = 1 (mod 3) � claramente falso.

O item (iii) � similar.
Supondo por absurdo que a, b, c s�o todos n�o-m�ltiplos de 5
os poss�veis valores para a^2, b^2 e c^2 m�dulo 5 s�o 1 e -1.
Uma simples verifica��o de alguns casos mostra que isto
tamb�m leva a uma contradi��o.

Para o item (i), a diferen�a � que n�o basta considerar os valores
m�dulo 2, � preciso consider�-los m�dulo 8.
Os valores de x^2 mod 8 quando x = 0,1,2,3,4,5,6,7 s�o
x^2 = 0,1,4,1,0,1,4,1 e novamente analisando casos vemos
que s� podemos ter a^2 + b^2 = c^2 se pelo menos um destes quadrados
for 0 m�dulo 8, ou seja, se pelo menos um dentre a, b, c for m�ltiplo de
4.

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau