O problema da metade do pasto

["Eric Campos" <mathfire@xxxxxxxxxx>]

Valeu Ralph, sua dica matou a questao com inteligencia. Acho que eu nao
estava usando de maneira forte que a a funcao f era impar, mas so que
f(0)=0.

Agora o mail para a todos da lista:

A alguns dias atras o Fabricio Damasceno propos um problema:

"Ha um cavalo preso na extremidade de um pasto circular. Qual deve ser
a relacao entre o comprimento da corda que prende o cavalo e o
comprimento do raio deste pasto para que este somente consiga pastar
metade do pasto?"

Se nao me engano este problema foi proposto pelo ex-presidente Joao
Figueiredo a Nicolau Corsao Saldanha, que o resolveu. Ficou conhecido como
"O Problema do Cavalo do Presidente". Fiz uma tentativa de solucao que nao
me deixou muito satisfeito, porque tive que usar um software de computacao
algebrica para resolver a equacao final. A solucao eh a seguinte:

Seja R2 o comprimento da corda que prende o cavalo e R1 o raio do pasto
circular. Temos duas circunferencias se interceptando em dois pontos P1 e
P2. Um desses circulos tem centro O2 (onde amarramos o cavalo) e raio R2 (o
comprimento da corda), chamarei esse circulo de C2. O outro circulo (o
pasto) tem centro O1 e raio R1 e chamarei esse circulo de C1. (Se quiser
continuar tente visualizar ou fazer um desenho simples). Queremos descobrir
o valor de r = R2/R1 para o qual a area comum dos dois circulos seja a
metade da area do circulo de raio R1 (isto eh Pi*R1^2/2).

Chamemos a superficie comum dos circulos C1 e C2 de S. Ora, tracando o
segmento que une P1 e P2, vemos que S pode ser decomposta em dois segmentos
circulares S1 e S2. A area de um segmento circular eh dada por R^2*(theta -
sen(theta))/2 onde R eh o raio do circulo onde "esta" o segmento circular e
theta eh o angulo central "sob" o segmento circular.

Sejam os angulos P1O2P2 = 2*t2 e P1O1P2 = 2*t1. Nesse caso:

S = S1 + S2 = R1^2*(2*t1 - sen(2*t1))/2 +
		+ R2^2*(2*t2 - sen(2*t2))/2

Dai e como S = Pi*R1^2/2 temos:

Pi*R1^2 = R1^2*(2*t1 - sen(2*t1)) +
        + R2^2*(2*t2 - sen(2*t2))

Dividindo por R1^2 vem

Pi = 2*t1 - sen(2*t1) + r^2*(2*t2 - sen(2*t2))  [1]

onde r = R2/R1.

Agora, note que os triangulos P1O1O2 e P2O1O2 sao congruentes e isosceles,
pois:

P1O1 = P2O1 = R1 = O1O2
P2O2 = P1O2 = R2

Portanto t1 + 2*t2 = Pi
ou t1 = Pi - 2*t2   [2]

Alem disso, tracando a altura do triangulo P1O1O2 relativa ao vertice O1 nao
e dificil ver que:

cos(t2) = R2/(2*R1)  [3]
ou seja r = 2*cos(t2) [3']
(r = R2/R1)

Substituindo [2] em [1] e desenvolvendo obtemos:

r^2 = (-Pi + 4*t2 - sen(4*t2))/(2*t2 - sen(2*t2))  [4]

Substituindo [3'] em [4] vem

4*cos(t2)^2=(-Pi + 4*t2 - sen(4*t2))/(2*t2 - sen(2*t2))
equacao 1

nao eh dificil ver que Pi/4 < t2 < Pi/2
restricao 1

no MapleV4, usando o comando:

fsolve(4*(cos(t2)^2)=(-Pi+4*t2-sin(4*t2))/(2*t2-sin(2*t2)),t2,Pi/4..Pi/2);

obtemos t2 = 0.9528478647 (aproximadamente)

onde conforme [3']

r = 2*cos(t2) = 1.158728473 (aprox.)

isto eh R2/R1 = 1.158728473 (aprox.)

Estarah certo? Passei horas ateh chegar nesse resultado, mas tive ajuda do
Maple. Fico pensando se ha uma solucao diferente, sem usar o Maple, ou se
existe uma solucao totalmente diferente dessa que "mate" o problema de modo
rapido.

Eric.