Álgebra IV (ou já é o V ?) e outras coisas

[Bruno Leite <superbr@xxxxxxx>]

Trata-se de um problema do Segundo Teste de Seleção da IMO-Ibero.
Para reais positivos satisfazendo a+b+c=abc, mostre que 

(a^2 + 1)^(-0,5) + (b^2 + 1)^(-0,5) + (c^2 + 1)^(-0,5) <= 1,5

Determine quendo ocorre a igualdade.

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Prova do ITA de matemática
A prova do ITA foi muito feia e cheia de contas. Por exemplo, "Um cone
circular reto com altura sqrt8 cm e raio da base 2 cm está inscrito numa
esfera que por sua vez está inscrita num cilindro. A razão entre as áreas
das superfícies totais do cilindro e do cone é? (era um teste)" É só conta!

O que eu queria saber é se tem um jeito bom, razoável, de fazer a questão 24.
Eu acho que era a mais difícil, e eu desisiti dela porque realmente cheguei
a uma quantidade absurda de contas e equações. Eu acho que a prova está
disponível na Internet, mas se não for o caso eu mando a questão.

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Eu achei esse texto em alguma página da Internet. Eu achei isso muito
surpreendente, muito mesmo. Alguém sabe demonstrar isso? (eu não me lembro
de onde eu peguei isso)


"K. Brown describes a fascinating number-theoretic function f(n). Take any
positive integer n, round it up to the nearest multiple of n-1, then round
this result up to the nearest multiple of n-2, then (more generally) round
the kth result up to the nearest multiple of n-k-1. Stop when k=n-1 and let
f(n) be the final value. For example, f(10)=34 since 

  10-->18-->24-->28-->30-->30-->32-->33-->34-->34. 

  The ratio n^2/f(n) approaches pi as n increases.[!!!!!!]


Bruno Leite