RES: Meio problema

["Eric Campos Bastos Guedes" <mathfire@xxxxxxxxxx>]

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Bruno Leite
Enviada em: sábado, 27 de novembro de 1999 15:37
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Meio problema


(a) Para quais inteiros positivos n existe um conjunto Sn de n inteiros
positivos distintos tal que a média geométrica de qualquer subconjunto de Sn
é um inteiro?

Esse é fácil: para todo n. Basta escolher, por exemplo, {1^n! , 2^n!, 3^n!,
..., n^n!}- com o fatorial no expoente. É claro que esse conjunto serve.
Agora vejam o que se pede depois.

(b)Existe um conjunto infinito S de inteiros positivos tal que a Med.Geom.
de qualquer subconjunto FINITO de S é inteiro?

Esse eu não sei fazer, mas desconfio (fortemente) que não existe. O duro é
provar. Alguém se dispõe?

Acho que uma prova pode ser assim:

Suponha que tal conjunto S exista. E sejam a, b elementos distintos de S.
Para todo n inteiro maior que 1 e para todos os inteiros s(1), s(2), ...,
s(n-1) em S existem inteiros x(s) e y(s) tais que:

a*s(1)*s(2)*...*s(n-1) = x(s)^n
b*s(1)*s(2)*...*s(n-1) = y(s)^n

em virtude da existência da MG. Dividindo vem:

(a/b) = (x(s)/y(s))^n

Como todo número racional é o produto de números primos com expoentes
inteiros (alguns expoentes não negativos e outros não positivos) segue que o
expoente alfa(p) de um primo p qualquer em (a/b) = (x(s)/y(s))^n é divisível
por todo n inteiro maior que 1, logo alfa(p) = 0 para todo primo p e
portanto a = b (absurdo, pois supomos a diferente de b). Está certo?

Eric.

Bruno Leite

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