Re: Limite

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Carissimo Prof Jose Paulo,
Como vai ?

Recebi sua mensagem. Um pouco truncada, e verdade, mas da para entender 
algumas coisas. Eu sinceramente lhe agradeco as correcoes !

Claramente que sei que "senx + cosx > 1". De maneira geral,
senx + cosx > 1 para 0 < x < pi/2. Isto e uma consequencia da desigualdade 
triangular aplicada ao ciclo trigonometrico, tal como Euler o definiu. Se 
escrevi "senx + cosx < 1" foi um erro na digitacao do sinal "<".

E facil provar que "senx > x - senx". Como senx + (1 - cosx) > x entao x - 
senx < 1 - cosx. Mas senx + cosx > 1 entao senx > 1 - cos. Logo:
senx > x - senx. Se escrevi "senx < x - senx" foi, novamente, erro na 
digitacao do sinal de desigualdade.

Eu procurei aplicar duplamente o teorema do confronto porque isso e estudado 
no 2 grau e o que o Prof Marcos desejava era uma solucao "a nivel do 2 
grau", dado que precisava transmitir a seu aluno uma solucao sem uso da 
regra do marques de L´Hopital. Com a regra deste marques a questao e trivial 
e desinteressante.

usando o "recurso das figuras que aparecem no ciclo" podemos "demonstrar" 
que 1 "1 - cosx < x^2/2", 0 < x < pi/2, e isto pode servir de partida para 
aplicar o teorema do Confronto: EU NAO TESTEI !

Como fiz a questao rapidamente apenas abordei o caso x > 0. Indiquei que o 
Prof fizesse a verificacao para o caso x < 0 ! Claramente sei que apenas um 
limite lateral nao resolveria a questao.

Paulo Santa Rita
4,1041,031199

>From: "José Paulo Carneiro" <jpcarneiro@openlink.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Limite
>Date: Fri, 29 Oct 1999 23:18:52 -0200
>
>Sinto muito, Paulo.
>
>Mas estah cheio de desigualdades falsas.
>
>Antes de mais nada, seria conveniente separar, quando
>x tende a 0, os casos x>0 e x<0, que alias podem ser levados
>em conta considerando que  sen  e tg sao funcoes impares
>(isto eh: f(-x)=-f(x).
>
>Mas mesmo assim, para x>0, e "proximo" de 0, por exemplo,
>entre 0 e pi/2, eh falso que senx+cosx<1; ao contrario, eh
>maior que 1. Tambem eh falso que x-sen x>sen x, o que
>equivaleria a sen x<x/2 (por exemplo, sen(pi/6)=0,5>pi/12).
>
>A solucao por serie de potencias estah correta, eh claro, mas
>exige muito mais conhecimento do que L'Hopital, pois a serie
>de Taylor exige nao so a derivada, como derivadas de ordens
>superiores (no exemplo em questao, no minmo terceira, e talvez
>ateh quarta, se for examinar os pontinhos...)
>
>Em matematica propriamente dita, a propria definicao de seno e
>tangente ja envolve ou series de potencias, ou integral (por exemplo,
>pode-se definir arc tg x como a integral de 0 a x da funcao racional
>  1/(1+x^2), e a partir dahi, obter tg, depois sen, etc.), ou por equacoes
>diferenciais (seno seria a solucao unica de y''+y=0, com y(0)=0 e y'(0)=1),
>etc. mas no curso secundario, as funcoes trigonometricas sao definidas
>"pictoricamente" pela figura do circulo trigonometrico. De modo que
>o jeito eh apelar para desigualdades a partir da figura, exatamente
>como voce tentou fazer, Paulo.
>
>Por essas figuras, da para deduzir que (quando x tende a 0),
>sen x/x tende a 1; tg x/x tende a 1; (1-cos x)/x^2 tende a 1/2.
>
>Tambem eh verdade que (x-sen x)/x^3 tende a 1/6 (omo se pode
>ver por l'Hopital ou serie de Taylor), e que tgx -x tende a 1/3. Mas
>eu nao sei fazer pela figura.
>JP
>
>
>

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