Re: Naturais

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, 13 Jun 1999, Eduardo Wagner wrote:

> >Em problemas de olimp�adas, devemos considerar o 0 pertencente aos
> >naturais??
> >
> >Como � essa quest�o do 0???
> >
> ><Bruno>
> 
> Caro Bruno: o 0 pertence ou nao aos naturais de acordo com a conveniencia
> do problema. Nao ha nada obrigatorio.
> Abraco, Wagner.

Esta � uma quest�o de defini��o/conveniencia/hist�ria/gosto.
O pr�prio Peano publicou seus famosos axiomas seguindo conven��es
diferentes em ocasi�es diferentes. Se voc� consultar v�rios livros
em uma boa biblioteca ver� que alguns definem os naturais come�ando
com 0 e outros come�ando com 1. Os dois conjuntos {0,1,2,3,...} e
{1,2,3,4,...} s�o importantes.

Tendo dito isso, gostaria de dizer que eu sou francamente pro zero-natural
e apresentar alguns argumentos:

* A pergunta mais fundamental envolvendo n�meros � "quantos x existem",
como em "quantos alunos foram classificados para a �ltima fase da OBM?",
"quantos brasileiros j� ganharam uma medalha de bronze em uma cone sul"
ou "quantas brasileiras j� tiraram medalha de ouro em uma OIM?".
Que tipo de n�mero serve como resposta? Um elemento de {0,1,2,3,...}.
Esta pergunta � t�o fundamental que este tipo de n�mero merece um nome
melhor do que "inteiro maior ou igual a zero". Em outras palavras,
a resposta deve ser sempre um natural, independentemente de acidentes
hist�ricos e fatos emp�ricos, como o de at� hoje nenhuma brasileira
ter ganhado uma medalha de ouro em uma OIM.

* Outro tipo de raz�o � a conveni�ncia matem�tica. Explico: em muitos
problemas devemos chamar as posi��es/casas/cartas/buracos/... de, digamos,
a0, a1, a2,... *ou* de a1, a2, a3, ... Na maioria das situa��es �
totalmente irrelevante qual das duas numera��es n�s seguimos.
Mas em muitos problemas *importa*, e minha avalia��o pessoal � que
� muito mais comum ser melhor numerar a partir de 0 do que a partir de 1.
O exemplo mais �bvio � o dos anos: se existisse ano 0 o s�culo mudaria
de 1999 para 2000, o que � bem mais bonitinho e razo�vel do que mudar de
2000 para 2001.

* Na teoria dos conjuntos n�o podemos de forma alguma deixar de considerar
o conjunto vazio. E definimos n�meros que contam al�m do infinito, os
n�meros ordinais. As defini��es usuais todas quebram se tentamos excluir o
zero. Um ordinal � um conjunto transitivo totalmente ordenado pela rela��o
"pertence", isto �, X � um ordinal se e somente se:

   - se Z \in Y e Y \in X ent�o Z \in X

   - se Z \in X e Y \in X ent�o vale uma das alternativas:

         - Z \in Y
         - Z = Y
         - Y \in Z


[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau