[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O per� odo de uma fun��o?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jan 30, 2004 at 04:38:49AM +0000, M�rcio Pinheiro wrote:
> >O per�odo fundamental pode n�o existir se o conjunto dos per�odos
> >n�o tiver m�nimo; para fun��es cont�nuas isto s� ocorre se f for constante
> >mas a fun��o caracter�stica de Q, f(x) = 1 se x � racional e f(x) = 0
> >se x � irracional, tem qualquer n�mero racional como per�odo.
> >� bem �bvio que a fun��o constante igual a 0 est� na nossa classe.
> 
> N�o conhe�o esse teorema, qual seja: Uma fun��o cont�nua n�o tem per�odo 
> m�nimo somente se for cnostante. Onde posso encontrar alguma explana��o 
> dele?
> Perd�o pela insist�ncia, mas como se resolve o problema de forma completa? � 
> poss�vel?

O problema o Claudio Buffara j� resolveu.

Definindo um per�odo de uma fun��o f como um n�mero real p
(positivo, negativo ou nulo) tal que f(x+p) = f(x) para todo x
� bem claro que o conjunto P dos per�odos de uma fun��o qq �
um subgrupo aditivo de R, i.e.:

0 pertence a P,
se p pertence a P ent�o -p pertence a P,
se p1 e p2 pertencem a P ent�o p1 + p2 pertence a P.

Por outro lado, se P � um subgrupo aditivo de R ent�o f, a fun��o
caracter�stica de P tem o pr�prio P por conjunto dos per�odos:
f(x) = 1 se x pertence a P e 0 caso contr�rio.
Assim todo subgrupo aditivo de R � o conjunto dos per�odos
de alguma fun��o f: R -> R.

Alguns exemplos de subgrupos aditivos de R s�o:
{0}, R, aZ = { an, n inteiro} (onde a > 0), Q,
p^{-infinito}Z = Z U (1/p)Z U (1/p^2)Z U ... U (1/p^k)Z U ....

Por outro lado, se f � cont�nua � f�cil demonstrar que P � fechado.
E tamb�m � f�cel demonstrar que os �nicos subgrupos aditivos fechados
de R s�o {0}, R e aZ que correspondem a uma fun��o n�o peri�dica,
a uma fun��o constante, e a uma fun��o com per�odo fundamental a.

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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