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Caros Domingos Jr., Artur e demais
colegas:
Acho que d� pra eliminar a necessidade de termos f'
cont�nua. Basta que f'(x) seja positiva para todo x em algum intervalo [c,d] com
a <= c < d <= b. Nesse caso, como f � cont�nua, ser� crescente em
[c,d].
Minha d�vida �: Supondo que f' exista mas seja
descont�nua em todo ponto de [a,b], ser� que a condi��o f(a) < f(b) �
suficiente para garantir que exista um sub-intervalo [c,d] (a <= c < d
<= b) onde f � crescente?
Um abra�o,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Sunday, February 02, 2003 3:07
AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma
afirma��o
acho que sem a hip�tese de f diferenci�vel
realmente isso n�o � verdadeiro...
d� uma olhada nessas fun��es que, apesar de serem
cont�nuas, devem conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo �
maior que o outro e no entanto elas n�o possuem nenhum intervalo estritamente
crescente ou decrescente (� um palpite, n�o estudei essas fun��es a
fundo):
assumindo f diferenci�vel, seja f' sua derivada
tb cont�nua no intervalo [a, b]
se f'(x) > 0 para algum valor de x em [a, b]
na regi�o em torno a x as derivadas tamb�m s�o maiores que 0 pois f' �
cont�nua, logo existe um intervalo em [a, b] em que f � estritamente
crescente.
para suponha que f'(x) <= 0 para todo x em [a,
b], temos que f(b) <= f(a), que n�o pode ocorrer.
acho que � s�, �s 2 da manh� � s� o que eu
consigo pensar :-)
----- Original Message -----
Sent: Saturday, February 01, 2003 8:35
PM
Subject: [obm-l] prova de uma
afirma��o
Boa noite a todos,
Pediram-se para demonstrar
a seguinte afirma��o, que, embora intiuitivamente pare�a ser verdadeira,
est� me causando grande dificuldade:
Seja f: [a, b] -> R
cont�nua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe ent�o um sub-intervalo
de [a, b] no qual f � estritamente crescente.
Estou come�ando a achar
que, embora aparentemente fa�a sentido, esta afirma��o � falsa. Mas tamb�m
n�o consegui dar um contra exemplo. Talvez exista um n�o trivial, sendo f dada pelo limite de uma s�rie
de fun��es ou por combina��es de outras fun��es.
Mesmo relaxando o car�ter
estritamente crescente e admitindo que f seja apenas crescente, ainda asim
n�o consegui chegar a qualquer conclus�o.
Alg�em tem alguma id�ia a
este respeito? Um abra�o.
Artur
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