Re: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais

["J�nior" <jssouza1@xxxxxxxxx>]

Bruno, creio que esse topico j� foi bastante debatido aqui na lista,
consulte os logs da mesma. Mesmo assim nao hesito em  mostrar uma
maneira que vi um prof� fazer.
Irei reproduzir o S_2 (soma dos quadrados). � facil reproduzir os demais.
O triangulo de Pascal:
1---------------- 1x1=1=1^2
1 1------------- 1x1+ 3x1=4=2^2
1 2 1---------- 1x1+ 3x2+ 2x1=9=3^2
1 3 3 1------- 1x1+3x3+ 2x3=16=4^2 
1 4 6 4 1---- 1x1+3x4+2x6=25=5^2
1 5 10 10 5-1x1 +3x5+2x10=36
=6^2
Note que: Binom(k,0)+3Binom(k,1)+2Binom(k,2)=1+3k+k(k-1)=(k+1)^2

Sum(1,n)[j^2]=Sum(0,n-1)[j+1]^2 = Sum(0,n-1)[Binom(k,0) +3Binom(k,1)+2Binom(k,2)]

=Sum(0,n-1)Binom(k,0) +3Sum(0,n-1)Binom(k,1) +2Sum(0,n-1)Binom(k,2)

=Binom(n,1) +3Binom(n,2) +2Binom(n,3)= n(2n+1)(n+1)/6

N�o sei se a minha nota��o est� correta, portanto fica ai "tradu��o":
Binom(n,p)=n!/(n-p)!p!
Sum(1,n)[j^2]= Somatorio de j quadrado com j variando de 1 a n.

J�nior.

Em 08/05/06, Bruno Bonagura <bbonagura@uol.com.br> escreveu:

Ol� pessoal,

Na primeira vez em que vi o somat�rio 1� + 2� + 3� + ... + n� e sua
f�rmula (1/6)(2n+1)(n+1)n fiquei curioso em tentar demonstrar tal
f�rmula. Isso foi h� quase dois anos! Desde ent�o pensava frequentemente
no assunto e as vezes procurava sobre ele na internet. Visito alguns
f�runs de matem�tica, tanto nacionais como internacionais, e sempre que
era questionada demonstra��o para tal f�rmula mostravam aquela que
utiliza combina��o e mais algumas coisas. Confesso que n�o dei muita
aten��o para tal demonstra��o, n�o tive simpatia com ela.

Enfim, depois de algumas id�ias e algumas observa��es dos azuleijos do
banheiro (rs), criei uma demonstra��o para tal f�rmula. N�o sei se j�
foi feita, mas estou sendo sincero ao dizer que a criei sem consultar
algo semelhante j� produzido. Gostaria que olhassem, criticassem
poss�veis erros, etc. Mas, principalmente, me digam se j� est� na
literatura corrente esta demonstra��o. Ela est� dispon�vel no meu blog
(http://bbonagura.blog.uol.com.br/) no post com t�tulo "Empilhando
quadrados".

Vale ressaltar que n�o estou enviando essa mensagem para a lista apenas
para fazer propaganda e conseguir visitas no meu blog. Meu intuito �
compartilhar conhecimento e receber cr�ticas/sugest�es, n�o a coloco
diretamente aqui por causa das f�rmulas matem�ticas e imagens que a
envolvem.

Bruno Bonagura

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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