[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] d�vida (Quadril�teros)

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Dado o paralelogramo ABCD, sejam:
O = circuncentro de ACD;
H = ortocentro de ABC;
M = ponto medio de DC;
N = ponto medio de AC.
X = ponto da semi-reta DO tal que O estah entre D e X e DO = OX.

A ideia eh provar que X coincide com H.

<CDX = <MDO; DC = 2*DM; DX = 2*DO ==>
triangulos CDX e MDO sao semelhantes ==>
<DCX = <DMO = 1 reto (MO eh perpendicular a DC) ==>
CX eh perpendicular a AB ==>
X pertence a altura do triangulo ABC relativa ao lado AB  (i)

ABCD eh paralelogramo ==>
as diagonais AC e BD se bisectam ==>
N pertence a DB e DB = 2*DN

<BDX = <NDO; DB = 2*DN; DX = 2*DO ==>
triangulos BDX e NDO sao semelhantes ==>
<DXB = <DON ==>
XB eh paralelo a ON
Mas ON eh perpendicular a AC ==> 
XB eh perpendicular a AC ==>
X pertence a altura do triangulo ABC relativa ao lado AC  (ii)

(i) e (ii) ==> X eh o ortocentro de ABC ==> X = H.

Incidentalmente, isso nao soh prova que D, O e H sao colineares mas tambem que DH = 2*DO.

[]s,
Claudio.


---------- Cabe�alho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
C�pia: 
Data: Wed, 3 May 2006 19:00:21 -0300 (ART)
Assunto: Re: [obm-l] Re:[obm-l] d�vida (Quadril�teros)

> Oi Claudio, muito obrigado pela observa��o. Acho que minha figura me fez afirmar algo que n�o poderia, pois construi o 
circunc�rculo de modo que este fosse interceptado apenas uma vez por OH, mas de fato n�o tenho argumentos para afirmar que 
OH � tangente, o mesmo vale para OD. Neste caso, ser� que voc� poderia me ajudar com este problema.   
> 
> 
> "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br> escreveu:     
>           De:  owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>           Para:  obm-l@mat.puc-rio.br
>           C�pia:  
>           Data:  Tue, 2 May 2006 22:07:50 -0300 (ART)
>           Assunto:  [obm-l] d�vida (Quadril�teros)
> 
> 
> cleber vieira <vieira_usp@yahoo.com.br> escreveu:     > Amigos, gostaria de saber se a resolu��o que dei para este problema 
est� correta, tenho esta d�vida por achar minha resolu��o simples demais e tamb�m por achar que esse problema merecesse 
mais aten��o.
>   >  
>   >  ABCD � um paralelogramo. H � o ortocentro do tri�ngulo ABC e O, o circuncentro do tri�ngulo ACD. Prove que H, O, D s�o 
colineares.
>   >  
>   > Resolu��o:
>   > Ligando o circuncentro O do tri�ngulo ACD aos seus v�rtices e chamando de G o p� da altura do tri�ngulo AOC e de M o p� 
da altura do tri�ngulo AOD,obtemos o quadril�tero AMOG que � c�clico. Seja R o centro da circunfer�ncia circunscrita a AMOG 
>    
>   ent�o RO ser� o raio e OH � tangente a esta circunfer�ncia em O
>    
>   *** N�o entendi porque OH � tangente a esta circunfer�ncia.
>    
>    ,logo, <ROH=90� da mesma forma OD � tangente a esta circunfer�ncia em O
>    
>   *** Idem.
>    
>   , ent�o, <ROD=90� ,assim, <HOD=180� e H, O, D s�o colineares.   
>   > 
>    
>   []s,
>   Claudio.
>    
> 
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