[obm-l] Re:[obm-l] Divisão de polinômios

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

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De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 4 May 2006 18:52:52 -0300
Assunto: [obm-l] Divisão de polinômios

> Olá à todos da lista, esse é o primeiro tópico que inicio aqui.  Estudando
> divisibilidade de polinômios me deparei com o seguinte exercício (a fonte
> diz que é IME, mas não encontrei esse exercício entre os exercícios do IME):
> 
> Prove que o polinômio p(x) = x^9999 + x^8888 + x^7777 + ... + x^1111 + 1 é
> divisível por g(x)= x^9 + x^8 + x^7 + .... + x^1 + 1
> 
> Creio eu que tenha que utilizar a teoria das congruências (mod). agradeço
> desde já pela ajuda.
> 

Basta observar que as raizes de g(x) sao justamente as raizes decimas da unidade distintas de 1 e que, se w eh uma tal raiz, entao 
w = w^1111, pois w^1110 = (w^10)^111 = 1^111 = 1.
Assim, para toda raiz decima da unidade distinta de 1, p(w) = g(w), ou seja, g(x) divide p(x).

[]s,
Claudio.




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