Para que o algarismo das
unidades do quadrado do n�mero seja �mpar, o n�mero deve ser
�mpar.Podemos representar qualquer natural �mpar como sendo 10a+b, onde a �
natural e b � �mpar entre 1 e 9.
(10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab +
b^2
Vamos verificar a paridade do
algarismo da dezena:
- veja que o primeiro termo �
multiplo de 100, portanto n�o altera o algarismo da dezena.
- veja que o segundo termo � um
n�mero par (2ab) multiplicado por 10, logo s� pode gerar um algarismo par para
dezena.
- veja que b^2 � o quadrado de
um �mpar entre 1 e 9, logo deve ser:1, 9, 25, 49 ou 81. Assim sendo ele s� pode
contribiur para dezena adicionando 2, 4 ou 8. N�o altera assim o fato da dezena
ser par.
Conclu�mos que todo n�mero �mpar
elevado ao quadrado possui algarismo da dezena par. Portanto somente h� dois
n�meros naturais cujos quadrados se escrevem utilizando apenas algarismos
�mpares: 1 e 3.
Abra�os,
Raul
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:46
PM
Subject: Re: [obm-l] quadrados
perfeitos
Esse problema � bastante dif�cil.
Consultando os arquivos, verifiquei que n�o houve
resposta.
Vou tentar esbo�ar alguns caminhos para
solu��o.
Primeiro note que o �LTIMO algarismo do
n�mero � impar.
Ent�o para algarismos de 1 n�mero temos
que
-->1
-->9
s�o os �nicos
n�meros �mpares que satisfazem esse crit�rio.
Ao pesquisar algarismos com dois n�meros,
verificamos que eles n�o
existem. OU SEJA n�o existem algarismos de
2 n�meros com quadrado perfeito
composto apenas por algarismos �mpares.
Vamos tentar entender porque:
(10x + y)^2 = 100x^2 + 10xy +
y^2
onde x e y s�o d�gitos
veja que temos 3 d�gitos de modo que para o
n�mero ter 2 d�gitos temos que x = 0.
Neste caso resta apenas y^2. Examinando
todos os quadrados perfeitos at� 100 descobrimos
que n�o h� nenhum n�mero nestas
condi��es.
Troque agora x por 10x_1 +x_2 e repita o
racioc�nio acima.
Tentaremos verificar todos os n�meros de 3
d�gitos que tem quadrado perfeito composto por �mpares.
(10(10x_1 +x_2)+y)^2 = 100(10x_1+x_2)^2 +
10(10x_1 +x_2) + y^2
= 100 (100x_1^2 + 20x_1x_2 + x_2^2) + 100x_1 + 20x_1x_2 +x_2^2 _
y_2^2
= 1000x_1^2 + 2020x_1x_2 + 100x_1 + (x_2^2 + y_2^2)
Note que se x_2^2 + y_2^2 for um quadrado
perfeito de dois n�meros ent�o tem que ter os dois
algarismos �mpares, o que n�o � poss�vel.
Tamb�m n�o podem ser de um n�mero pois a combina��o
d� par. Ent�o conclu�mos que x_2^2 + y_2^2
tem 3 n�meros...
N�o sei se d� para ir adiante com
essas id�ias.
Prefiro deixar as pessoas mais especialistas como
Yuzo Shine criticarem-nas.
Ronaldo L . Alonso
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, March 21, 2006 12:41
PM
Subject: Re: [obm-l] quadrados
perfeitos
Ol� Raul e lista,
Tive problemas no recebimento durante alguns dias
dos emails da lista.
E gostaria saber se alguem postou alguma solu��o para este
problema.
Grande abra�o,
Felipe Sardinha
Raul <euraul@terra.com.br>
escreveu:
Boa noite!
Encontrar todos os n�meros
naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos
�mpares.
Agrade�o
solu��es.
Raul
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21/3/2006