Estava folheando umas anota��es e curiosamente deparei-me com uma nota sobre a conjectura de Goldbach e imaginei o seguinte problema:
�Segundo uma extens�o da conjectura de Goldbach enunciada por Euler, qualquer n�mero par maior que 2 pode ser representado como a soma de 2 n�meros primos �mpares. Encontre 2 primos cuja soma resulte nos seguintes n�meros: 992, 7426, 63274, 503222,
A resposta �:
992 = 73 + 919
7426 = 173 + 7253
63274 = 293 + 62981
503222 = 523 + 502699
3807404 = 751 + 3806653
A curiosidade � a seguinte: os 5 n�meros acima n�o foram escolhidos ao acaso. Eles s�o especiais.
Seja o n�mero par n = p1 + p2, com p1 e p2 primos.
Cada n�mero enunciado representa a combina��o cujo p = m�n(p1, p2) seja o maior primo poss�vel no intervalo de n menor que 103, 104, 105, 106 e 107 respectivamente.
O que isto significa na pr�tica?
Significa que para o n�mero 992, por exemplo, a combina��o m�nima � 992 = 73 + 919.
Embora possam existir outras combina��es para 992, 73 � o menor primo poss�vel nesse caso. Todos os outros n�meros pares menores que 1.000 t�m combina��es de resposta com primos menores que 73.
Sendo um pouco cruel, se algu�m fosse tentar encontrar os primos p1 e p2 da soma utilizando para isso apenas l�pis e papel, o n�mero 992 representa o caso mais dif�cil dentre os pares menores que 1000 (utilizando um algoritmo de tentativas a partir de 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc.)
Utilizando esse racioc�nio, o aluno teria que tentar:
992 = 3 + 989, 989 n�o � primo (989 = 23 . 43).
992 = 5 + 987, 987 n�o � primo.
992 = 7 + 985, 985 n�o � primo.
992 = 11 + 981, 981 n�o � primo.
...
At� chegar em 992 = 73 + 919.
Qualquer outro n�mero par menor que 1000 e diferente de 992, causaria menos trabalho.
Conclus�o: Acho que � aconselh�vel o uso de um sistema computacional para a correta resolu��o do problema, o que torna o exerc�cio particularmente atraente como sendo de programa��o.
A dificuldade neste caso, nem � encontrar os fatores p1 e p2 da soma.
O dif�cil � chegar nos 5 n�meros: 992, 7426, 63274, 503222, 3807404, dadas as condi��es iniciais do problema.
Tamb�m por quest�o de curiosidade, deparei-me com o seguinte enigma: �qual a progress�o aritm�tica mais longa j� encontrada composta somente por n�meros primos?�. Embora eu j� saiba a resposta, fica o desafio: elaborar um programa que execute tal fa�anha em escala menor, come�ando com 4 ou 5 primos em progress�o e aumentando gradativamente: 6, 7, 8, etc.
Na verdade, existem dois recordes de progress�es de primos (RIBENBOIM, 2001).
Um recorde diz respeito sobre primos quaisquer em progress�o de raz�o constante (recorde de 22 primos), e o outro recorde � de primos consecutivos, ou seja, sem primos intermedi�rios (recorde de 10 primos!).
Se algu�m puder me ajudar com alguma informa��o sobre o assunto, agrade�o
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