Re: [obm-l] RE: [obm-l] Grupo de ordem 9 é abeliano

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Ok Paulo! O caminho que eu vinha seguindo travava pois o máximo que eu
mostrava era que todo subgrupo de G é normal em G (mostrando que existe um
homorfismo de G em S_3 que não é injetor e cujo núcleo está num subgrupo H
qualquer de G, logo H é normal. Vale para todo H pois o homorfismo
construído era G --> G/H --> S_3). Eu não enxerguei nenhuma solução a partir
disso, pois, como sabemos, os quatérnios +-1, +-i, +-j, +-k  constituem um
grupo não abeliano em que todo subgrupo é normal.

[]s,
Daniel

Paulo Santa Rita (p_ssr@hotmail.com) escreveu:
>
>Ola Daniel e demais
>colegas desta lista ... OBM-L,
>
>Aqui vai uma dica ( por favor, complete os detalhes ) : Z/9Z e abeliano,
>claramente, pois e ciclico. Por outro lado, Z/3Z X Z/3Z e abeliano, conforme
>se verifica facilmente. Eu afirmo que, a menos de isomorfismos,  estes sao
>os unicos grupos de ordem nove ...
>
>Realmente, pois se G e um grupo de ordem nove que e ciclico entao ele e
>isomorfo a Z/9Z. Logo, abeliano. Se G nao e ciclico, pelo TEOREMA DE
>LAGRANGE todo elemento de G diferente da unidade tem ordem 3. Seja g um
>elemento ( diferente da unidade ) de G. Entao, claramente, existe h em G -
>.
>
>Eu afirmo que :
>
>1) G =
>2) hg = gh
>
>Logo, G e abeliano.
>
>Para provar 1) basta voce fazer combinacoes com "g" e "h" e usar razoes
>elementares. Para provar 2) mostre que qualquer suposicao sobre hg ( por
>exemplo : hg = (g^2)(h^2) ) conduz a absurdos.
>
>Um Abraco
>Paulo Santa Rita
>5,2058,160904
>
>>From: kleinad@webcpd.com
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: [obm-l] Grupo de ordem 9 é abeliano
>>Date: Thu, 16 Sep 2004 15:37:54 +0000
>>
>>Como provar que todo grupo G de ordem 9 é abeliano, sem usar Sylow nem
>>Cauchy (embora possa-se mostrar facilmente que existe elemento de ordem 3
>>em
>>G)?
>>
>>[]s,
>>Daniel
>
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