Re:[obm-l] Limites

[kleinad@xxxxxxxxxx]

>1) Mostrar que lim [log (x+1)]^[(log a)/(log x)] = log a quando x -> 0.

Pra ser sincero, não consegui fazer isso não; só posso "mostrar" que a
expressão equivale a a, e não log a. (O Winplot concorda comigo :)).

Também acredito que lim log(x+1)^[log(a)/log(x)] (x-> 0)seja zero por
valores negativos, por isso tomei a liberdade de fazer a modificação dos
parênteses.

Ok. Se x -> 0, então faça x = 1/k, com k -> + oo (visto que x tem de ser
positivo).

Vamos mostrar que [log (x+1)]^[1/log(x)] = e.

[log(x+1)]^[1/log(x)] = [log[(1/k) + 1]^[1/log(1/k)] =
 = [(1/k)*log[(1/k) + 1]^k]^[-1/log(k)]

Como lim k->oo de [(1/k) + 1]^k = e, temos que a expressão acima fica

(1/k)^[-1/log(k)].

Temos k = 1/x. Substituindo, vem

x^[-1/log(1/x)] = x^log(x). Ora, mas x = e^a e logo

x^log(x) = e^[a/log(e^a)] = e^(a/a) = e.

Assim, a expressão original equivale a e^log(a) = a.

Ah, eu escrevo log a = logaritmo de a na base e !!!

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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