[obm-l] Re: [obm-l] Re: Ajuda sobre espaços de Baire

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Ana,
Escreva o que vc fez para que se possa dar uma opiniao.
Deve haver outras provas sem o conceito de oscilacao, mas acredito que sejam
semelhantes. A prova que eu sugeri eh simples, sim. O que se tem basicamente
que fazer eh jogar com infimos eh supremos. Dando um exemplo,  vou mostrar
que f eh continua em x de X sse w(x) =0.

Se f eh continua em x, entao para todo eps>0 existe uma vizinhanca V de x
tal que |f(v) - f(x)| < eps para todo v de V. Pela desigualdade do
triangulo, temos entao que |f(v1) - f(v2)| < 2eps para todos v1 e v2 de V. 
Logo, 2eps eh limite superior do conjunto {|f(v1) - f(v2)| : v1 e v2 estao
em V}. Isto implica que W(V) = sup {|f(v1) - f(v2)| : v1 e v2 estao em V}  
<= 2eps (consequencia da definicao de supremo). Assim, x possui uma
vizinhanca V com oscilacao W(V) <= 2eps. Como a oscilacao de f em x eh W(x)
= inf {W(U) : U estah na  colecao das vizinhancas de x}, temos W(x) <= W(V)
<= 2 eps. Como esta desigualdade vale para todo eps>0 arbitrariamente
escolhido e W(x), em virtude de sua definicao, naum eh negativo, temos
necessariamente que W(x) = 0.
Se, por outro lado, W(x) = 0, entao W(x) < eps para todo eps>0. Da definicao
de W(x), segue-se que nenhum eps>0 eh limite inferior do conjunto {W(U) : U
estah na  colecao das vizinhancas de x} (consequencia da definicao de
infimo). Logo, para todo eps>0 existe uma vizinhanca V de x tal que 0<= W(V)
< eps. Considerando agora a definicao de W(V), temos que |f(v1) - f(v2)| <=
W(V) < eps para todos v1 e v2 de V. Como x pertence a V, temos |f(v) - f(x)|
< eps para todo v de V. Resumo da opera: para todo eps>0, existe uma
vizinhanca V de x tal que |f(v) - f(x)| < eps para todo v de V  ---
justamente a definicao de continuidade de f em x.  

As outras demonstracoes sao mais simples que esta. Jogue com infimos e
supremos.
Artur 


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Re: Ajuda sobre espaços de Baire
Data: 21/07/04 11:05

Oi pessoal da lista, principalmente o Artur que me deu
umas dicas na seguinte demonstração:

Se X é um espaço de Baire e D é um subconjunto de X
que seja de 1a categoria (magro) e denso em X, então
não existe nenhuma função f:X->R contínua em D e
descontínua fora de D.

O Artur deu as seguintes dicas a seguir. Eu acho que
consegui provar a parte (1) (espero que esteja certo),
mas de fato me enrolei na (2), com aquele conceito de
oscilacao. Seria possivel ir um pouco mais longe? Ou
sugerir outra abordagem? Esta prova por oscilacao me
parece um tanto complicada, embora o Artur tenha
assegurado que, na realidade, é até simples:

Obrigada.
Ana



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