Oi Éder, o Domingos Jr. deu uma resposta bem geral ao seu problema.
Só para você não ficar chateado, poderia pegar, por exemplo, g(x)= raiz
cúbica (x) e f(x)=e^(x^3), que novamente responderia ao seu problema.
O Fábio Dias Moreira fez uma alteração no seu enunciado, tornando o
problema mais interessante.
Abraços,
Carlos
Lista OBM wrote:
De fato, esse problema da revista mat. universitária parece ser
bem mais complicado. Você, ou alguém da lista, sabe a resposta para
esse problema?
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PGP SIGNED MESSAGE-----
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Lista OBM said:
> Gostaria de saber se existe duas funções reais f e g tais que
(fog)(x) =
> e^x.
> [...]
Como outros já responderam, sim, existe: basta tomar f(x) = x e g(x) =
e^x.
O mais interessante nesse problema é que existe uma função f: R -> R
tal que
(fof)(x) = e^x -- esse é um dos problemas propostos na Matemática
Universitária, no. 35, páginas 41-46.
(espaço para quem quer pensar no problema...)
Cosndiere A_1 = (-1, 0], A_2 = (-inf, -1] e, se A_i = (a_i, b_i], então
A_{i+2} = (e^a_i, e^b_i] (estou definindo e^-inf = 0). É fácil ver que!
os
A_i's são uma partição de R.
Agora, defina f_i: A_i -> A_{i+1} por f_1(x) = -1/(x+1) e f_{i+1}(x)
=
e^(f_i^{-1}(x)), onde f_i^{-1} é a inversa da f_i. Para provar que esta
definição faz sentido, temos que provar que f_i é invertível para todo
i.
Isso é verdade para i = 1; suponha a afirmação verdadeira para f_{i-1}.
Então
f_i é trivialmente injetora, e é sobrejetora, pois a imagem de
f_{i-1}^{-1} é
A_{i-1}, logo a imagem de f_i é a "exponencial" de A_{i-1}, que é
A_{i+1}.
Finalmente, defina f(x) = f_i(x), onde i é escolhido de tal forma que x
pertença a A_i. Então
f(f(x)) = f(f_i(x)). Mas f_i(x) pertence a A_{i+1}, logo
f(f(x)) = f_{i+1}(f_i(x)) = e^(f_i^{-1}(f_i(x))) = e^x para todo x real.
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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