[obm-l] Re: Ajuda sobre espaços de Baire

[Ana Evans <ana_ev@xxxxxxxxx>]

Oi pessoal da lista, principalmente o Artur que me deu
umas dicas na seguinte demonstração:

Se X é um espaço de Baire e D é um subconjunto de X
que seja de 1a categoria (magro) e denso em X, então
não existe nenhuma função f:X->R contínua em D e
descontínua fora de D.

O Artur deu as seguintes dicas a seguir. Eu acho que
consegui provar a parte (1) (espero que esteja certo),
mas de fato me enrolei na (2), com aquele conceito de
oscilacao. Seria possivel ir um pouco mais longe? Ou
sugerir outra abordagem? Esta prova por oscilacao me
parece um tanto complicada, embora o Artur tenha
assegurado que, na realidade, é até simples:

Obrigada.
Ana

-------------Dicas do Artur----------------

Mostre que:

1) Se X eh um espaco de Baire, entao subconjuntos
magros (isto eh, de
primeira categoria na classificacao de Baire) que
sejam densos em X naum sao
G-delta.

2) Se X eh um espaco topologico qualquer e f eh uma
funcao de X em R, entao
o conjunto dos elementos de X nos quais f eh continua
eh um G-delta. 

(1) e (2) mostram que a proposicao eh verdadeira.

Para mostrar (1), uma forma facil eh mostrar que, em
espacos de Baire,
conjuntos que naum sejam magros mas tenham interior
vazio naum sao F-sigma.
Isto prova o desejado porque.....

Para provar (2), acho que eh um pouco mais complicado
(pelo menos, ateh onde
eu consigo ver). Uma forma que me parece interessante
eh considerar o
conceito de oscilacao, o qual se aplica a funcoes
definidas em um espaco
topologico X e que tenha valores em R (na realidade,
os valores podem estar
em qualquer espaco metrico). 
Se A eh um subconjunto de X, a oscilacao de f em A eh
W(A) = sup {|f(x1) -
f(x2)| : x1 e x2 estao em A}. Ou seja, W(A) eh o
diametro do conjunto
imagem f(A).
Se x estah em X, a oscilacao de f em x eh dada por
w(x) = inf {W(V) : V
pertence a U}, sendo U a colecao de todas as
vizinhancas de x. (Na
realidade, podemos nos restringir a vizinhancas
basicas, como bolas abertas
se X for um R^n. Neste caso, podemos inclusive nos
restringir aa colecao
enumeravel das bolas abertas de centro em x e raio
1/n, n natural.). Um
fato interessante, cuja demonstracao naum eh dificil e
eh instrutiva, eh que
f eh continua em x se, e somente se, w(x) = 0.

De posse destes conceitos, mostre entao que:
(2a) - para todo r>0, o conjunto C(r) = {x em X : w(x)
< r} eh aberto em X.

Seja C o conjunto dos elementos de X nos quais f eh
continua. Considere a
colecao de conjuntos abertos {C(1/n) : n eh natural}.
Uma certa operacao
realizada nesta colecao dah um resultado que tem a
cara de C (2b). Temos
entao que (2a) e (2b) provam 2, e acabou.







	
		
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