Re: [obm-l] Função Exponencial

[Fábio Dias Moreira <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

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Lista OBM <obm_lista@yahoo.com.br> said:
> Gostaria de saber se existe duas funções reais f e g tais que (fog)(x) =
> e^x.
> [...]

Como outros já responderam, sim, existe: basta tomar f(x) = x e g(x) = e^x.

O mais interessante nesse problema é que existe uma função f: R -> R tal que 
(fof)(x) = e^x -- esse é um dos problemas propostos na Matemática 
Universitária, no. 35, páginas 41-46.

(espaço para quem quer pensar no problema...)


















































Cosndiere A_1 = (-1, 0], A_2 = (-inf, -1] e, se A_i = (a_i, b_i], então 
A_{i+2} = (e^a_i, e^b_i] (estou definindo e^-inf = 0). É fácil ver que os 
A_i's são uma partição de R.

Agora, defina f_i: A_i -> A_{i+1} por f_1(x) = -1/(x+1) e f_{i+1}(x) = 
e^(f_i^{-1}(x)), onde f_i^{-1} é a inversa da f_i. Para provar que esta 
definição faz sentido, temos que provar que f_i é invertível para todo i. 
Isso é verdade para i = 1; suponha a afirmação verdadeira para f_{i-1}. Então 
f_i é trivialmente injetora, e é sobrejetora, pois a imagem de f_{i-1}^{-1} é 
A_{i-1}, logo a imagem de f_i é a "exponencial" de A_{i-1}, que é A_{i+1}.

Finalmente, defina f(x) = f_i(x), onde i é escolhido de tal forma que x 
pertença a A_i. Então

f(f(x)) = f(f_i(x)). Mas f_i(x) pertence a A_{i+1}, logo

f(f(x)) = f_{i+1}(f_i(x)) = e^(f_i^{-1}(f_i(x))) = e^x para todo x real.

[]s,

- -- 
Fábio Dias Moreira
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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