Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Análise_no_R^n.

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

Meu caro Artur,

 

consegui resolever o problema sem supor que a função seja classe C^1. Para isso, basta derivar em relação a t e usar a regra da cadeia.

 

Éder.

Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> wrote:

Para simplificar a notacao, vamos primeiro considerar o caso n=1.
As diferenciabilidade de f implica a existencia de suas m derivadas parciais
em todo o R^m. Tomemos a variavel x1 e, tambem para simplificar a notacao,
denominemos de f' a derivada parcial de f com relacao a x1. A regra da
cadeia, caso unidimensional, nos diz que sendo g(x) = f(t*x), entao g'(x) =
t*f'(t*x) = t*f'(x), equacao valida para todo rela t e todo x de R^m. Logo,
temos necessariamente que f'(t*x) = f'(x) para todo real t e todo x de R^m.
Agora, vou assumir que f seja de classe C^1, isto eh, que tenha derivadas
parciais continuas (sem esta hipotese, eu naum estou certo se dah para
provar a proposicao). Feita esta hipotese, a continuidade de f' na origem
implica que f'(x) = f(0), isto eh, f' eh constante.
Desta ultima conclusao, segue-se que f(x) =a1*x1 + h1(x2,...xm), sendo a1
uma constante real e h1 uma funcao que depende de x2,....xm mas naum de x1.
De modo inteiramente analogo, chegamos a expressoes similares para as outra
variaveis x2,....xm. Temos entao, para todo x de R^m, que
f(x) =a1*x1 + h1(x2,...xm)
.
.
f(x) = a_i x_i + h_i(x1...x_i_1, x_i+1,....x_m)
.
.
f(x) = a_n x_n + h_n(x1.....x_m-1)

Para que isto seja possivel, temos necessariamente que f(x) = a1*x1...+ a_m
*xm + C, sendo C uma constante real. Logo, f(0) =C. Mas, de f(t*x) = f(x),
segue-se que, se t=2, entao f(0) = f(2*0) = 2*f(0) = 2*C = C => C=0. Assim,
f(x) = f(x) = a1*x1...+ a_m *xm, que eh uma transformacao linear.
No caso geral, temos que f(x) = (f1(x), ...fm(x)), onde f1,...fm sao as
funcoes coordenada de f. Se f satisfaz a f(t*x) = t* f(x), entao relacoes
similares valem para cada uma das funcoes coordenadas. Do que jah vimos,
concluimos entao que f(x) = T [x1...xm], sendo T uma matriz constante n x m
n. Exatamente uma transformacao linear.

Artur
PS. Acho que, para que a conclusao seja valida, basta assumir que as
derivadas parcias sejam continuas em x=0.


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
Assunto: [obm-l] Análise no R^n.
Data: 16/07/04 08:49


Gostaria de uma ajuda para o problema abaixo:

Seja f: R^m --> R^n uma função diferenciável em todo R^m e tal que f(tx) =
tf(x), p/ todo x em R^m e todo t em R. Prove que f é uma transformaçãao
linear.

Grato, Éder.


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