[obm-l] Soma de Recíprocos (IMO 2004)

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Lema: se x, y > 0 e x + y = C, min 1/x + 1/y ocorre somente quando x = y 
= C/2.

dem.:
1/x + 1/y = (x + y)/(xy) = C/(xy)

min 1/x + 1/y = C / max xy

mas

max xy
sujeito a x + y = C, x, y >= 0

é simples de se obter pois y = C - x e então, temos

max x(C - x) = Cx - x^2
s.a. 0 <= x <= C

basta derivar e obtemos que o máximo se dá em C/2, ou seja x = y = C/2.

pra ver que esse valor é único, note que Cx - x^2 tem máximo único (o 
vértice da parábola), e portanto o mínimo de 1/x + 1/y é único em x = y 
= C/2.

Para provar o caso geral é bem simples. Suponha que tenhamos x_1, ..., 
x_n > 0 e x_1 + ... + x_n = C de forma que 1/x_1 + ... + 1/x_n é mínimo 
e existe x_i != x_j.

pelo Lema, temos que 1/x_i + 1/x_j > 2/M, onde M = (x_i + x_j)/2, mas 
isso contraria a hipótese de que 1/x_1 + ... + 1/x_n é mínimo, pois se 
trocarmos x_i e x_j por M, estamos diminuindo a soma e respeitando a 
restrição.

--- x ---

a minha proposição é a seguinte:
é possível limitar o desvio padrão de x_i num valor bem pequeno quando 
sabemos que (x_1 + ... + x_n)(1/x_1 + ... + 1/x_n) <= x^2 + 1.
alguém se arrisca?


[ ]'s
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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