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Olá Éder,
Primeiramente temos que Card(Z/2Z X ... X Z/2Z ) = 2^n, se Z/2Z X ... X Z/2Z
tem n parcelas.
Pelo princípio multiplicativo. Para cada uma das n
coordenadas temos duas possibilidades (0 ou 1).
Podemos ainda enumerar os elementos de G de 1 a 2^n
de modo que o elemento 1 seja o elemento neutro e.
A propriedade g*g = e indica que cada termo é igual ao seu inverso
(simétrico).
Assim sendo podemos criar um
homomorfismo F de (G,*) em (Z/2Z X ...
X Z/2Z,+) tal que
F (1)=(0,0,...,0)
F(x)= vetor com pelo menos uma coordenada não nula,
se x for diferente de 1.
F(x*y)=F(x)+F(y)
Afirmação: F é injetiva
Com efeito,
se F(x)=F(y) então
F(x*y)=F(x)+F(y)=(0,0,...,0), já que cada de
coordenada de F(x)+F(y) é o dobro das coordenadas de F(x).
Pela definição de F temos que x*y=1 e
operando y a esquerda teremos
x*y*y=1*y
x*1=y
x=y
O que prova que F é injetiva.
Como as cardinalidades do domínio e do
contra-domínio são iguais e F é injetiva concluímos que F
é também sobrejetiva. Assim temos um homomorfismo bijetivo, ou seja,
um isomorfismo entre (G,*) e
(Z/2Z X ... X Z/2Z,+) .
[ ]'s
Fernando
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