Re: [obm-l] Ajuda

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxxxx>]

Bom, se você souber derivadas, basta derivar f(x) com relação a x,
e igualar a zero, obtendo
0 = f'(x) = 2( (x-1) + (x-2) + (x-3) + ... + (x-50) )
o que reduz-se a soma de P.A:
0 = 50x - (1+2+3+...+50)= 50x - 50*51/2)
ou seja, x = 25.5.

Como é esperado que x seja inteiro, pelas suas respostas, e como a função 
f(x) é uma função do segundo grau mascarada, teremos que ela é simétrica 
em relação ao seu mínimo, ou seja f(26) = f(25), que são os pontos mais 
próximos do mínimo que há nos inteiros.

Outro modo de pensar esta questão é tentar provar uma desigualdade do tipo
(x - a)^2 + (y + a)^2 > x^2 + y^2, que vale sempre, e aplicar aos casos em 
que temos troca de sinais, lembrando que quadrados sao sempre positivos.
Por exemplo, suponha que você acha que o mínimo está em zero.
Mas aí, vc pode usar x = 1 e notar que os termos quadrados foram 
deslocados e que você trocou um termo grande (-50)^2 por um pequeno (0)^2
Pensando assim, quanto mais simétrica for a expressão, melhor, e daí você 
escolhe 25 ou 26, que geram respostas simétricas perto do centro, que é o 
minimizante.

Essa idéia veio de tentar resolver um problema mais simples; tente ver o 
mínimo quando vc tem só cinco termos:
Com x = 0, temos
1+4+9+16+25
Com x = 1,
0+1+4+9+16 (que é menor que f(0))
Com x = 2,
1+0+1+4+9
Com x = 3
4+1+0+1+4
Com x = 4, temos
9+4+1+0+1, que é o mesmo que f(2) com a ordem trocada!

Aí, você usa a desigualdade para provar que f(3) < f(2) e pronto.

Para fazer o caso com 50, é mais difícil, mesmo pq f(25)=f(26).
Mas aí vc vai provando em cascata que f(1)>f(2)>f(3)>...>f(25) e pronto.

Até mais,
Bernardo Costa

On Tue, 6 Jul 2004 SiarJoes@aol.com wrote:

> Determinar o valor de f(x) de forma que a função:
> f(x)= (x-1)²+(x-2)²+(x-3)²...+(x-50)²
>
> tenha valor mínimo.
>
> a) 0 b)15 c)25 d) 50 e) 65
>
>
> essa aí deve ter algum macete, mas não estou achando...
>
>
> Grato
> Junior
>