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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duvidas (Fun��es)
Porque P1P5 = P1P3 e P1P2 = P1P6
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From: "Thor" <thor-oliveira@bol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sun, 7 Mar 2004 00:06:03 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duvidas (Fun��es)
> ----- Original Message -----
> From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado <morgado@centroin.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Sunday, March 07, 2004 12:49 AM
> Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duvidas (Fun��es)
>
> > A resposta � 3.
> > 15 = 13 e 12 = 16, por que 3 ?
> > ==============================================================
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> >
> >
> > ---------- Original Message -----------
> > From: "Rafael" <cyberhelp@bol.com.br>
> > To: "OBM-L" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Sat, 6 Mar 2004 22:13:08 -0300
> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Duvidas (Fun��es)
> >
> > > Thor,
> > >
> > > Vamos supor, espero que sem perder a generalidade, como � costume
> > > dizer, que o hex�gono regular de que estamos tratando est� no plano
> > > de Argand-Gauss. Cada um dos v�rtices do hex�gono � raiz de uma
> > > equa��o de sexto grau. Todas as ra�zes ter�o mesmo m�dulo (dist�ncia
> > > da origem at� o ponto) e corresponder�o � rota��o de 360�/6 = 60� da
> > > raiz que a precede. Portanto, o n�mero de elementos de V � o de
> > > pares formados escolhendo-se dois n�meros complexos entre os seis.
> > > Veja que a ordem em que esses n�meros s�o escolhidos importa, pois o
> > > par (P;Q) � diferente do par (Q;P). Dessa forma, teremos os arranjos
> > > dos seis n�meros tomados dois a dois, 6!/4! = 30. N�o � dif�cil
> > > cont�-los, veja:
> > >
> > > Seja P1, P2, P3, P4, P5, P6 os v�rtices do hex�gono regular, teremos:
> > >
> > > (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),
> > > (P2,P1),(P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6),
> > > (P3;P1),(P3;P2),(P3;P4),(P3;P5),(P3;P6),
> > > (P4;P1),(P4;P2),(P4;P3),(P4;P5),(P4;P6),
> > > (P5;P1),(P5;P2),(P5;P3),(P5;P4),(P5;P6),
> > > (P6;P1),(P6;P2),(P6;P3),(P6;P4),(P6,P5)
> > >
> > > Dessa forma, n(V) = 30.
> > >
> > > Por�m, apesar de existirem 30 pares, n�o existem 30 dist�ncias
> diferentes.
> > > Observe que a dist�ncia, por exemplo, de P1 a P2 � a mesma de P2 a
> > > P1. Descontando esses pares que t�m v�rtices permutados ser�o C(6,2)
> > > = 6!/(4!2!) = 15 dist�ncias at� agora. Exemplificando:
> > >
> > > (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),
> > > (P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6),(P3;P4),
> > > (P3;P5),(P3;P6),(P4;P5),(P4;P6),(P5;P6),
> > >
> > > Voltando a pensar no plano de Argand-Gauss, cada par � um afixo no
> > > plano e h� uma circunfer�ncia que cont�m os seis afixos. A dist�ncia
> > > entre dois afixos consecutivos (lado do hex�gono) � a mesma, pois
> > > trata-se de um hex�gono regular. Descontando-se esses afixos
> > > consecutivos, ficaremos com 11 dist�ncias distintas:
> > >
> > > (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),(P2;P4),
> > > (P2;P5),(P2;P6),(P3;P5),(P3;P6),(P4;P6)
> > >
> > > Analogamente, (P1;P3) possuir�, por exemplo, a mesma dist�ncia de
> > > (P2;P4), pois cada par possui simetria em rela��o a outro se o outro
> > > possuir pontos sim�tricos em rela��o aos do primeiro. Note que tudo
> > > isso � v�lido principalmente por se tratar de um hex�gono regular.
> > > Isso ocorre tamb�m, por exemplo, para (P1;P4) e (P2;P5). Eliminando
> > > os pares sim�tricos que, assim, possuem a mesma dist�ncia, v�m:
> > >
> > > (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6)
> > >
> > > E isso faz sentido. As dist�ncias distintas, num hex�gono regular,
> > > s�o as obtidas tomando-se um dos pontos (no caso, P1) e cada um dos
> outros.
> > >
> > > Dessa forma, n[Im(f)] = 5.
> > >
> > > � um problema bem legal! ;-)
> > >
> > > Abra�os,
> > >
> > > Rafael de A. Sampaio
> > >
> > > ----- Original Message -----
> > > From: Thor
> > > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > Sent: Saturday, March 06, 2004 4:00 PM
> > > Subject: [obm-l] Duvidas (Fun��es)
> > >
> > > Sejam V = {( P;Q) | P e Q s�o v�rtices distintos de um hex�gono
> > > regular} e f uma fun��o que associa a cada par (P;Q) de V a
> > > dist�ncia de P a Q. O n�mero de elementos do conjunto imagem de f �?
> > >
> > > Agrade�o desde de j�.
> > >
> > >
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> > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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