[obm-l] Re: [obm-l] Duvidas (Fun��es)

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Thor,

Vamos supor, espero que sem perder a generalidade, como � costume dizer, que
o hex�gono regular de que estamos tratando est� no plano de Argand-Gauss.
Cada um dos v�rtices do hex�gono � raiz de uma equa��o de sexto grau. Todas
as ra�zes ter�o mesmo m�dulo (dist�ncia da origem at� o ponto) e
corresponder�o � rota��o de 360�/6 = 60� da raiz que a precede. Portanto, o
n�mero de elementos de V � o de pares formados escolhendo-se dois n�meros
complexos entre os seis. Veja que a ordem em que esses n�meros s�o
escolhidos importa, pois o par (P;Q) � diferente do par (Q;P). Dessa forma,
teremos os arranjos dos seis n�meros tomados dois a dois, 6!/4! = 30. N�o �
dif�cil cont�-los, veja:

Seja P1, P2, P3, P4, P5, P6 os v�rtices do hex�gono regular, teremos:

(P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),
(P2,P1),(P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6),
(P3;P1),(P3;P2),(P3;P4),(P3;P5),(P3;P6),
(P4;P1),(P4;P2),(P4;P3),(P4;P5),(P4;P6),
(P5;P1),(P5;P2),(P5;P3),(P5;P4),(P5;P6),
(P6;P1),(P6;P2),(P6;P3),(P6;P4),(P6,P5)

Dessa forma, n(V) = 30.

Por�m, apesar de existirem 30 pares, n�o existem 30 dist�ncias diferentes.
Observe que a dist�ncia, por exemplo, de P1 a P2 � a mesma de P2 a P1.
Descontando esses pares que t�m v�rtices permutados ser�o C(6,2) = 6!/(4!2!)
= 15 dist�ncias at� agora. Exemplificando:

(P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),
(P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6),(P3;P4),
(P3;P5),(P3;P6),(P4;P5),(P4;P6),(P5;P6),

Voltando a pensar no plano de Argand-Gauss, cada par � um afixo no plano e
h� uma circunfer�ncia que cont�m os seis afixos. A dist�ncia entre dois
afixos consecutivos (lado do hex�gono) � a mesma, pois trata-se de um
hex�gono regular. Descontando-se esses afixos consecutivos, ficaremos com 11
dist�ncias distintas:

(P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),(P2;P4),
(P2;P5),(P2;P6),(P3;P5),(P3;P6),(P4;P6)

Analogamente, (P1;P3) possuir�, por exemplo, a mesma dist�ncia de (P2;P4),
pois cada par possui simetria em rela��o a outro se o outro possuir pontos
sim�tricos em rela��o aos do primeiro. Note que tudo isso � v�lido
principalmente por se tratar de um hex�gono regular. Isso ocorre tamb�m, por
exemplo, para (P1;P4) e (P2;P5). Eliminando os pares sim�tricos que, assim,
possuem a mesma dist�ncia, v�m:

(P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6)

E isso faz sentido. As dist�ncias distintas, num hex�gono regular, s�o as
obtidas tomando-se um dos pontos (no caso, P1) e cada um dos outros.

Dessa forma, n[Im(f)] = 5.


� um problema bem legal! ;-)


Abra�os,

Rafael de A. Sampaio



----- Original Message -----
From: Thor
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, March 06, 2004 4:00 PM
Subject: [obm-l] Duvidas (Fun��es)



Sejam V = {( P;Q) | P e Q s�o v�rtices distintos de um hex�gono regular} e f
uma fun��o que associa a cada par (P;Q) de V a dist�ncia de P a Q. O n�mero
de elementos do conjunto imagem de f �?

                        Agrade�o desde de j�.


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