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Oi para todos!
TEOREMA: Se a � um n� natural que n�o �
um quadrado perfeito, sqrt(a) � irracional
PROVA: Suponha por absurdo que sqrt(a) � racional.
Logo sqrt(a) pode ser escrito na forma p/q , mdc(p,q)=1
Logo existe solu��o racional para p e q tais
que mdc(p,q)=1 para a=p^2/q^2 => a.q^2 = p^2 . a,p,q s�o
inteiros.
Logo p � divis�vel por a. Logo p = a.r para
algum valor inteiro de r . Logo a^2.r^2 = a.q^2 => q^2 = a.r^2 . a,q,r
s�o
inteiros .Segue que q � divis�vel por a. Como a n�o
� quadrado perfeito, a>1 . Logo mdc(p,q)>1 . Absurdo !
PROPRIEDADE: Se a � irracional, sqrt(a) tamb�m �
irracional
Usando esses teoremas acima fica f�cil provar
os 2 primeiros
1)Eleve ( sqrt(3) + sqrt(5)) ao quadrado, voc� ter�
8 + 2sqrt(15) que � irracional pois sqrt(15) � irracional, uma vez
que
15 n�o � quadrado perfeito, logo sqrt(8 +
2sqrt(15)) = sqrt(3) + sqrt(5) � irracional.
2)(sqrt(p) + sqrt(q))^2 = p+q + 2sqrt(p.q) . Como p
e q s�o primos distintos p.q n�o � quadrado perfeito, logo sqrt(p) +
sqrt(q) � irracional
Andr� T.
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