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Caros JP, Domingos Jr. e Artur:
Só pra relembrar. O problema original é:
Maximizar: P = A(1)*A(2) + A(2)*A(3) + ... + A(n)*A(1)
Sujeito a: A(1) + A(2) + ... + A(n) = 1 e os A(i)'s reais não
negativos.
Após alguma discussão, chegamos à conclusão de que se os A(i)'s fossem
reais quaisquer, então P seria ilimitado e também conseguimos maximizar e
minimizar a soma dos quadrados dos A(i)'s mas não chegamos a nenhuma conclusão
sobre o problema acima, que me parece bem mais interessante.
Eu fiz alguma coisa para valores pequenos de n:
n = 2:
Maximizar P = x*y
Sujeito a: x + y = 1 (x,y >= 0)
Esse caso é fácil:
Pmax = 1/4 para x = y = 1/2 (pode-se usar MG <= MA).
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n = 3:
Maximizar: P = x*y + y*z + z*x
Sujeito a: x + y + z = 1 (x,y,z >= 0)
P é linear em cada uma das variáveis (dP/dx não depende de x, dP/dy não
depende de y, etc.)
Além disso, dP/dx = y + z >= 0 (analogamanete para dP/dy e dP/dz).
Assim, acho que dá pra concluir que o valor máximo de P ocorre na fronteira
do seu domínio (isso vale para qualquer n).
Fazendo z = 1 - x - y, teremos:
P = x*y + x + y - (x + y)^2 ==>
dP/dx = 1 - 2x - y = 0 ==> 2x + y = 1
dP/dy = 1 - x - 2y = 0 ==> x + 2y = 1 ==>
x = y = 1/3 ==> z = 1/3 ==> P = 1/3.
d^2P/dx^2 = d^2P/dy^2 = -2 < 0 e d^2P/(dxdy) = 0 ==>
máximo ==>
Pmax = 1/3 para x = y = z = 1/3.
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n = 4:
Max: P = x*y + y*z + z*u + u*x
S.a: x + y + z + u = 1 (x,y,z,u >= 0)
P = (x + z)*(y + u)
u = 1 - x - y - z ==>
P = x + z - 2*x*z - x^2 - z^2 ==>
dP/dx = 1 - 2x - 2z
dP/dy = 0
dP/dz = 1 - 2x - 2z ==> x + z = 1/2 ==> y + u
= 1/2
Pmax = 1/4 para quaisquer x, y, z, u tais que: x + z = 1/2 e y
+ u = 1/2.
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n = 5:
Max: P = x*y + y*z + z*u + u*v + v*x
s.a.: x + y + z + u + v = 1 (x,y,z,u,v >= 0)
v = 1 - x - y - z - u ==>
P = x + u - x^2 - u^2 - u*x - y*u - z*x + y*z ==>
dP/dx = 1 - 2x - z - u = 0
dP/dy = -u + z = 0
dP/dz = -x + y = 0
dP/du = 1 - 2u - x - y = 0 ==>
1 - 2x - 2u = 0; z = u; y = x ==>
x + u = 1/2; z + y = 1/2 ==> v = 0 ==>
P = x^2 + x*u + u^2
Agora, o problema se reduz a:
Max: P = x^2 + x*u + u^2
S.a: x + u = 1/2 (x,u >= 0)
Mas: P = (x + u)^2 - x*u = 1/4 - x*u <= 1/4, pois x e u são >=
0.
Igualdade <==> x = 0 ou u = 0 ==> Pmax = 1/4.
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Para n >= 5, o meu chute é que Pmax = 1/4, mas não tive saco de
generalizar a demonstração do caso n = 5.
O que vocês acham?
Um abraço,
Claudio.
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